函数定理3怎么证明 高等数学：如图，定理3的这三个命题用函数极限的定义证明怎么证明？帮我写出证明过程，谢谢！
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- 三次函数韦达定理如何推导
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- 函数有界性的定理如何证明
三次函数韦达定理如何推导
众所周知，对于一元二次方程ax^2+bx+c=0,(a≠0）
两根x1,x2
有如下关系
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
|x1-x2|=√△/|a|
对于第三个，证法很简单了，就是依靠1式平方与二式乘4做差开根号。
前两个，
一是用求根公式，x=(-b±√△)/2a
加起来、乘起来，即可得到
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
的关系
这种证法的优点是，第三个式子用这个方法也可以很轻松证明出来
二是用分解式，若有两根x1,x2,则原方程显然可以化成
a(x-x1)(x-x2)=0
展开可得ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0
对应上面的ax^2+bx+c=0
亦可得
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
的关系
这种证法的优点，下面会叙述。
韦达定理除了不解方程知道方程根的关系外，还可以用来构造方程
如：x^2-3x+1=0
两根x1+x2=3/2
x1x2=1
但是不用韦达定理的话就很悲催了。要出人命的。
又如
已知a+b=2,ab=1
求a,b
利用韦达定理，以a,b,为两根的方程x^2-(a+b)x+ab=0
即x^2-2x+1=0
a=b=1
但是利用韦达定理需要许多限制。
如：求x^2-3x+5=0根的关系
有人直接写，x1x2=5,x1+x2=3/2
但是注意：△=3^2-4*5=9-20=-11<0
方程根本没有根！
所以说，用韦达定理，必须先检验：（1）二次项系数不为0，（2）△≥0
下面叙述分解式求证韦达定理的优点。
对于三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0
当然你是可以用求根公式来做，但三次方程的求根公式，。。。无法想象。
所以，设三根为x1,x2,x3
则原方程化为a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0
展开
ax^3-a(x1+x2+x3)x^2+a(x1*x2+x2*x3+x3*x1)-ax1*x2*x3=0
x1+x2+x3=-b/a
x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a
x1*x2*x3=-d/a
同理，四次方程也可以如是解决。（当然是比较可怕的，但是绝对可以搞定）
隐函数存在定理3怎么推导的？
首先，该定理先证明了u和v在局部上是x的函数，并且可导。
由于u(x), v(x)对x,可导，在
F(u, v, x) = 0, G(u, v, x) = 0中分别对x求导（用链式法则），就得到了上面的方程组
此线性方程组在每一个特定的点处成立，把它看作关于变量“偏u/偏x”, “偏v/偏x”的线性方程组，其它项视作常数（注意这个方程组的意义在于它在每一点处成立，在任一个点处当然是常数）用线性代数中的Grammer法则即可。（上述出现的行列式就是Grammer法则中的行列式。）
高数上37页 函数的极限 定理3的推论的 证明
取ε＝｜A｜＆＃47；2，用极限定义对ε＝｜A｜＆＃47；2存在正数δ，当0＜｜x－x0｜＜δ时，有｜f（x）－A｜＜ε＝｜A｜＆＃47；2，所以｜f（x）｜＝｜f（x）－A＋A｜≥｜A｜－｜f（x）－A｜＞｜A｜＆＃47；2
高等数学同济第七版函数极限的性质定理3怎么证明(⊙_⊙?)
高等数学：如图，定理3的这三个命题用函数极限的定义证明怎么证明？帮我写出证明过程，谢谢！
limf=A,limg=B,则:
对0<|x-x0|<δ1,|f-A|<ε1
对0<|x-x0|<δ2,|g-B|<ε2
取δ=min[δ1,δ2],则当0<|x-x0|<δ时,|f-A|<ε1和|g-B|<ε2都成立
∴|f+g-A-B|≤|f-A|+|g-B|<ε1+ε2=ε
即证明了lim(f+g)=A+B
其他同理
函数有界性的定理如何证明
需使用3个定理如下：
定理1：任意数列{Ut}满足：m≤Ut≤n，
则有{Ut}的子列{U（t（s））}收敛。
定理2：[m,n]中的所有有理数可记为
数列{Rt}。
定理3：[m,n]中的所有数x，
有[m,n]中有理数列{At}，使
x=Lim{t→∞}At=x
1。设函数f于区间[m,n]内有连续
设[m,n]中的所有有理数数列{Rt}（定理2），
定义数列{Pt}，使Pt=Rs，
满足：f（Pt）=Max{f（Rs），1≤s≤t}
由定理1得：有{Pt}的子列{Pt（s）}收敛，
设Lim{s→∞}Pt（s）=y。
2。任意：[m,n]中的数x，定理3得：
有[m,n]中有理数列{At}，使
x=Lim{t→∞}At=x。
ⅰ。对于任意ε>0，由f在x的连续性得：有
f（At）>f（x）-ε
ⅱ。由f在y的连续性得：有S，当s≥S
f（y）>f（Pt（s））-ε
ⅲ。At是[m,n]中的有理数，则
At=Ru，取v≥S，使
t（v）≥u，则有
f（Pt（v））=Max{f（Rs），1≤s≤t}
≥f（Ru）=f（At）
==》f（y）+ε>f（Pt（v））≥f（At）>f（x）-ε
==》f（y）≥f（x）==》
f（y）最大值。
3。同理f最小值.
