二次型的标准型为什么不唯一 二次型的表示方法
二次型的标准型为什么不是唯一的？一个二次型用配方法得出的标准型是唯一的吗？线性代数中，二次型化为标准型的结果是唯一的吗？二次型经正交变换得到标准型唯一么？线性代数：为什么二次型的标准形式不唯一的,而它的规范形唯一？二次型的标准型唯一吗？
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二次型的表示方法
因为可以用换元法，所以各项系数不唯一，当然就不唯一了。
例如：2*x1^2---->(√2*x1)^2---(换元)->y1^2。
规范形才是唯一的，因为它只看正负号。
化二次型为标准型有哪些方法
一个二次型用配方法得出的标准型不是唯一的
不变的是正负惯性指数
"所有合同对称矩阵具有相同的标准型，怎么理解？"
它们的标准形不一样
由于它们的正负惯性指数一样
所以规范型是一样的.
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不唯一。
化二次型为标准型，有两种方法。
1、配方，配方只是用了某种坐标变换，得到标准型的系数，不一定是特征值。
2、正交变换，得到的标准型系数一定是特征值。
可以随意的调换这些系数的位置，只要使用的变换矩阵的向量对应就可以了。
n个变量的二次多项式，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关。
扩展资料：
任何非零的n维二次形式定义在投影空间中一个 (n-2)维的投影空间。在这种方式下可把3维二次形式可视化为圆锥曲线。
二次空间是有序对（V,q），这里的V是在域k上的向量空间，而q:V→k是在V上的二次形式。
例如，在三维欧几里得空间中两个点之间的距离可以采用涉及六个变量的二次形式的平方根来找到，它们是这两个点的各自的三个坐标。
如果有V中的非零的v使得Q(v)=0。否则它称为非迷向的。二次空间的一个向量或子空间也可以被称为迷向的。如果Q(V)=0则Q被称为完全奇异的。
参考资料来源：百度百科——二次型
正交变换可以不变成标准型吗
不唯一的，沙发说的很对。正交变换的正交矩阵本身各列都可以调换顺序，当然相应的特征值对应调换顺序，导致系数的位置不一致，因此不唯一。
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标准形对平方项的系数没有严格限制
如 4x^2 = (2x)^2
作一个变换其标准形就改变了.
但规范型要求平方项的系数是1或-1
而二次型的正负惯性指数是不变量
所以规范型是唯一的(不考虑变量的顺序)
标准二次型和规范二次型的区别
二次型的标准型不唯一。
一个二次型的标准型不唯一，规范型唯一。 求标准型的方法就是按照实对称矩阵对角化的步骤，把二次型的矩阵作为实对称矩阵，求处Q，然后做正交变换x=Qy（xy为列向量），把向量组中的每个xi根据Q替换为yi，即可得到标准型。
若二次型只有平方项，则称二次型为标准型。
如果标准型中，系数只有1，-1和0，那么称为二次型的规范型，因为标准型中，1，-1，0的个数是由正负惯性指数决定的，而合同的矩阵正负惯性指数相同，因此相互合同的矩阵乘以相同的向量组得到的二次型的规范型一定相同。
此外，求一个二次型的正负惯性指数，是通过求特征值得到，为正数的特征值的个数就是正惯性指数，即规范型中1的个数。
