什么是有界而不收敛 高等数学收敛和发散的定义
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高等数学收敛和发散的定义
一、两者的性质不同：
1、有界的性质：
（1）单调性：闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。
（2）连续性：闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。
（3）可积性：闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。
2、收敛的性质：
（1）全局收敛：对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。
（2）局部收敛：若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。
二、两者的概述不同：
1、有界的概述：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。
2、收敛的概述：是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。
三、两者的意义不同：
1、有界的意义：根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。
2、收敛的意义：数学分析的基本概念之一，它与“有确定的(或有限的)极限”同义，“收敛于……”相当于说“极限是……(确定的点或有限的数)”。
有界不一定收敛，因为有界函数并不一定是连续的。
参考资料来源：百度百科-有界
参考资料来源：百度百科-有界函数
参考资料来源：百度百科-收敛（数学、经济学名词）
参考资料来源：百度百科-收敛性
无界意味着无穷大吗
有界不一定收敛是指此数列或函数存在上下限，但没有一种趋势是趋向于某一个确定的数，就像正弦函数一样，虽然有正负1给它作为上下限，但随着x的变化，函数值没有趋向于一个确定的1一样。
收敛一定有界指的是此数列或函数存在一个趋势，这个趋势的极限是一个确定的值，就像反比例函数一样。
收敛数列一定有界（反证,假设无界,肯定不收敛） ，有界数列不一定收敛（反例,数列{(-1)^n}是有界的,但它却是发散的）。
关于函数的有界性．应注意：函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一。
从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界，如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。
若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。
数列的收敛有界性
有界不一定收敛是指此数列或函数存在上下限，但没有一种趋势是趋向于某一个确定的数，就像正弦函数一样，虽然有正负1给它作为上下限，但随着x的变化，函数值没有趋向于一个确定的1一样。
收敛一定有界指的是此数列或函数存在一个趋势，这个趋势的极限是一个确定的值，就像反比例函数一样。
收敛数列一定有界（反证，假设无界，肯定不收敛）。
有界数列不一定收敛（反例，数列｛(-1)^n}是有界的，但它却是发散的）。
有极限（极限不为无穷）就是收敛，没有极限（极限为无穷）就是发散。
例如：f（x）=1/x 当x趋于无穷是极限为0，所以收敛。
f（x）= x 当x趋于无穷是极限为无穷，即没有极限，所以发散。
在数学分析中，与收敛（convergence)相对的概念就是发散(divergence)。
无界函数不一定是收敛函数
有界函数不一定收敛。
收敛函数一定有界但是有界函数不一定收敛，如f(x)在x=0处f(0)=2，在其他x处f(x)=1，那么f(x)在x=0处就不是收敛的，那么f(x)就不是收敛函数，但是f(x)是有界的，因为1≤f(x)≤2。如x趋于无穷时有界函数sinx不收敛。单调有界函数一定收敛。
性质
函数的有界性与其他函数性质之间的关系函数的性质：有界性，单调性，周期性，连续性，可积性。单调性闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立；连续性闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立；可积性闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。
有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ（D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。
一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ（x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近－1或1时，函数的值就变得越来越大。
怎样判断是绝对收敛还是条件收敛
有界数列不一定收敛。例如，已知数列{(-1)^n}是有界的，但它却是发散的。换句话说，有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。又例如数列{b(n)}，b(n)=(-1)^n，|b(n)|<=1{b(n)}有界，b(n)为摆动数列，但是不收敛。
有界数列和收敛的区别有以下两点：
1、收敛数列一定是有界数列，有界数列不一定是收敛数列。
2、收敛数列趋向于一个定值，有界数列趋向于一个极限值。
有界数列：
有界数列，是数学领域的定理，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。
假设存在定值a，任意n有｛An（n为下角标，下同）＝B，称数列｛An}有下界B，如果同时存在A、B时的数列｛An}的值在区间［A,B]内，数列有界。
收敛数列有界性通俗解释
收敛的数列{Sn}必定有界。因为|Sn-s|a)--->-es-e<Sn<s+e，说明{Sn}的项(除开始的几项以外)都在有限区间(s-e，s+e)内，因而有界。;
有界的数列未必收敛。例如数列：1，-1，1，-1，......的所有项的值都在0与2之间，是有界的，但是却不趋向于任何实数，因而无极限就是不收敛。
一、有界函数的性质：
1、单调性
闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。
2、连续性
闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。
3、可积性
闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。
4、有界性
5、周期性
二、设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正数M 对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界。
设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）则称ƒ在D上有上（下）界的函数，M（L）称为ƒ在D上的一个上（下）界。
