方阵的特征向量是什么 特征向量和矩阵的关系
什么叫 矩阵的特征向量 和特征值？矩阵的特征向量怎么求？什么是特征向量？特征值？矩阵的特征值和特征向量，矩阵特征值与特征向量是什么？矩阵的特征值和特征向量是什么？
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特征向量和矩阵的关系
只说定义吧 [意义，太重要。用途，太多。几句话说不清，不说了！]
n阶方阵A,行列式|λE-A| [E是n阶单位矩阵，λ是变量。这是λ的n次多项式，首
项系数是1] 叫做A的特征多项式，[f（λ）＝|λE-A|].f（λ）＝0的根（n
个），都叫A的特征值。
如果λ0是A的一个特征值，|λ0E-A|＝0，（λ0E-A）为降秩矩阵，线性方程组
（λ0E-A）X＝0 [X＝（x1,x2,……xn）′是未知的n维列向量] 必有非零解，
每个非零解就叫矩阵A的关于特征值λ0的一个特征向量。
[特征方法是线性代数的核心内容之一，也是其他很多数学分支的重要内容，可
要认真对待了！]
矩阵的特征向量
矩阵的特征方程式是：
A * x = lamda * x
这个方程可以看出什么？矩阵实际可以看作一个变换，方程左边就是把向量x变到另一个位置而已；右边就是把向量x作了一个拉伸，拉伸量是lamda。那么它的意义就很明显了，表达了矩阵A的一个特性就是这个矩阵可以把向量x拉长（或缩短）lamda倍，仅此而已。
任意给定一个矩阵A，并不是对所有的x它都能拉长（缩短）。凡是能被A拉长（缩短）的向量称为A的特征向量(Eigenvector)；拉长（缩短）量就为这个特征向量对应的特征值（Eigenvalue）。
值得注意的是，我们说的特征向量是一类向量，因为任意一个特征向量随便乘以一个标量结果肯定也满足以上方程，当然这两个向量都可以看成是同一个特征向量，而且它们也都对应同一个特征值。
如果特征值是负数，那说明了矩阵不但把向量拉长（缩短）了，而且让向量指向了相反的方向。
扩展资料
矩阵的意义上，先介绍几个抽象概念：
1、核：
所有经过变换矩阵后变成了零向量的向量组成的集合，通常用Ker(A)来表示。假如你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，如果你不幸落在了这个矩阵的核里面，那么很遗憾转换后你就变成了虚无的零。
特别指出的是，核是“变换”(Transform)中的概念，矩阵变换中有一个相似的概念叫“零空间”。有的材料在谈到变换的时候使用T来表示，联系到矩阵时才用A，本文把矩阵直接看作“变换”。核所在的空间定义为V空间，也就是全部向量原来在的空间。
2、值域：
某个空间中所有向量经过变换矩阵后形成的向量的集合，通常用R（A）来表示。假设你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，这个矩阵的值域表示了你将来可能的位置，你不可能跑到这些位置之外。值域的维度也叫做秩（Rank）。值域所在的空间定义为W空间。W空间中不属于值域的部分等会儿我们会谈到。
3、空间：
向量加上加、乘运算构成了空间。向量可以（也只能）在空间中变换。使用坐标系（基）在空间中描述向量。
不管是核还是值域，它们都是封闭的。意思是如果你和你的朋友困在核里面，你们不管是相加还是相乘都还会在核里面，跑不出去。这就构成了一个子空间。值域同理。
特征值和特征向量有关系吗
将A分别作用在u和v上，也就是计算Au和Av：
画个图就是：
Av=2v，A对v的作用，仅仅是将v延长了，这个系数2就叫特征值；而被矩阵A延长的向量(2,1)，就是特征向量。下面给出数学定义。A为nxn矩阵，x为非零向量。若存在数λ，使Ax=λx成立，则称λ为A的特征值，x称为对应于λ的特征向量。
特征值有两个很特别的规律，分别是：
1、特征值的和，等于矩阵对角线的和（迹）。
2、特征值的积，等于矩阵的行列式。
扩展资料：
定理
谱定理在有限维的情况，将所有可对角化的矩阵作了分类：它显示一个矩阵是可对角化的，当且仅当它是一个正规矩阵。注意这包括自共轭（厄尔米特）的情况。这很有用，因为对角化矩阵T的函数f(T)（譬如波莱尔函数f）的概念是清楚的。
在采用更一般的矩阵的函数的时候谱定理的作用就更明显了。例如，若f是解析的，则它的形式幂级数，若用T取代x，可以看作在矩阵的巴拿赫空间中绝对收敛。谱定理也允许方便地定义正算子的唯一的平方根。
谱定理可以推广到希尔伯特空间上的有界正规算子，或者无界自共轭算子的情况。
求特征值，描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(A – λI) v = 0 （其中I是单位矩阵）有非零解v (一个特征向量)，因此等价于行列式|A – λI|=0; 。
函数p(λ) = det(A – λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。
一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。
反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。
求特征向量，一旦找到特征值λ，相应的特征向量可以通过求解特征方程(A – λI) v = 0 得到，其中v为待求特征向量，I为单位阵。没有实特征值的一个矩阵的例子是顺时针旋转90度。
参考资料：百度百科-特征向量
各矩阵特征值和特征向量的关系
矩阵是一个非常抽象的数学概念，很多同学都对其望而生畏。但是，如果能够具体的理解了内部含义，就如同打开了一扇新的大门。
本文主要讲的是特征向量（Eigenvector）和特征值（Eigenvalue）。
01 特征向量（Eigenvector）是什么？
基向量
我们一般研究数学，都是在直角坐标系中，这就造就了两个基向量：v（0,1）和 u（1,0）。
为了说明特征向量，我们先看一下矩阵A和向量B（1，-1）：
矩阵A
如果将A和B相乘，结果如下：
AB和2B
AB
矩阵实际上可以被看作为一个变换，AB实际上表达的意思是 向量B 通过矩阵A完成了一次变换，有可能只是拉伸，有可能是旋转，有可能两者都有。
2B
上图中，2B的理解就简单很多，是将向量B拉长2倍。
那么，特征向量的定义如下：
任意给定一个矩阵A，并不是对所有的向量B都能被A拉长（缩短）。凡是能被A拉长（缩短）的向量称为A的特征向量(Eigenvector)；拉长（缩短）量就为这个特征向量对应的特征值（Eigenvalue）。
上例中，B就是矩阵A的特征向量，2是特征值。
特征值的求法
02 怎么求矩阵的平方和多次方
矩阵A
还是矩阵A，如果让你求矩阵A的平方，你可能会觉得挺容易的。
但是，如果让你求A的100次方呢？
还有那么容易吗？
按照上面的方法，一点规律没有，只能硬着头皮算。
补充一个概念：对角矩阵
对角矩阵
对角矩阵，顾名思义，只有对角线上有值，其他位置都是0。为什么对角矩阵特殊，如上图，C的平方就是对角线上数的平方，多次方也一样。
那么，怎么才能将矩阵A转变成矩阵C呢？
这就用到特征值和特征向量了。
A的特征值
A有两个特征值，对应两个特征向量：（1,0）和（1，-1）。
如果我们将两个特征向量看作是一个新的坐标系的基向量，并组合成矩阵D：
矩阵的特征向量和特征值应用
如下：
n阶方阵A，行列式|λE-A| [E是n阶单位矩阵，λ是变量。这是λ的n次多项式，首项系数是1] 叫做A的特征多项式，[f（λ）＝|λE-A|].f（λ）＝0的根（n个），都叫A的特征值。
如果λ0是A的一个特征值，|λ0E-A|＝0，（λ0E-A）为降秩矩阵，线性方程组（λ0E-A）X＝0 [X＝（x1,x2,……xn）′是未知的n维列向量] 必有非零解，每个非零解就叫矩阵A的关于特征值λ0的一个特征向量。
在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。如果旋转角是 θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。
3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个是实数就可以指定一个 3 维旋转矩阵。
三阶矩阵的特征值和特征向量
如下：
n阶方阵A，行列式|λE-A| [E是n阶单位矩阵，λ是变量。这是λ的n次多项式，首项系数是1] 叫做A的特征多项式，[f（λ）＝|λE-A|].f（λ）＝0的根（n个），都叫A的特征值。
如果λ0是A的一个特征值，|λ0E-A|＝0，（λ0E-A）为降秩矩阵，线性方程组（λ0E-A）X＝0 [X＝（x1,x2,……xn）′是未知的n维列向量] 必有非零解，每个非零解就叫矩阵A的关于特征值λ0的一个特征向量。
在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。如果旋转角是 θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。
特征向量是在矩阵变换下只进行“规则”变换的向量，这个“规则”就是特征值。特征向量反映了线性变换的方向，这这几个方向上线性变换只导致伸缩，没有旋转；特征值反映线性变换在这几个方向上导致的伸缩的大小。
