数学中的环和代数是什么 线性代数最大无关组和极大无关组
数学上的群，域，环等有什么区别和联系？代数是什么意思？数学上的群、域、环等有什么区别和联系？数学中，群、环、域、集分别是什么？它们的范围不同吗？什么是代数？什么是代数？
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数系与数集的区别与联系
（1）群：集合G上定义了二元运算记作“ * ”，满足以下四个条件:
封闭性。2.结合律。3.含幺。4.有逆。
那么该集合和二元运算一起构成的代数结构（G，*）称作一个群。
（2）Abel群：二元运算还满足交换律的群。所以Abel群也叫做交换群，是一类特殊的群。二元运算记作“ + ”
（3）半群：集合上定义的二元运算，满足前两个条件：
1.封闭性。2.结合律。
(群一定是半群，但是半群不一定是群。)
有了以上的定义，我们来看一下什么是环和域。
（4）环：设集合R上定义了两个二元运算“ + ”，“ * ”且满足
1.（R，+）是Abel群。
2.（R，*）是半群。
3.两种运算满足分配率，a*（b+c）=a*b+a*c
则集合R和两个二元运算构成的代数结构叫做环。
（5）域：环中的半群结构，满足含幺和交换律，则称作域。可见域是一种特殊的环。
综上：最大的概念是半群，群是半群的子集，Abel群又是群的子集。环是在Abel群的基础上进行“修饰”，也就是再增加一种二元运算使得集合构成半群，且两种运算满足上面提到的分配率。最后域是环的子集，要求增加的这种二元运算还要满足含幺和交换律。
以上为网友;cfwengf; 的回答; 补充一下：
（5）域：环中的半群结构，满足含幺和交换律，则称作域。可见域是一种特殊的环。
此处还应当满足有;逆元;才能称为域，即域为交换的除环
参考“Abstract;Algebra;Theory;and;Applications;--Thomas;W.;Judson”2016版书中第182-183页
代数包括哪些方面
代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程（组）的通用解法及其性质的数学分支。初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。
代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。
扩展资料：
代数的分类：
1、初等代数
在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解代数方程的原理为中心问题的初等代数。
初等代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的代数式的代数运算理论和方法的数学分支学科。
2、高等代数
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数、多项式代数。
高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
参考资料来源：百度百科-代数
线性代数最大无关组和极大无关组
看了楼上的说法，我来说说个人理解
首先说说对问题的理解
1、楼主问群、域、环等，这个等还包括什么？包括模与同调吗？包括序和格吗？问题没有说清楚
2、单就群、域、环来说，这几个概念，每一个都有很多范畴，楼主具体想知道什么群、什么环呢？群包括交换群（加群）、置换群、典型群、半群、代数群、组合群、计算群、李群、拓扑群等等，每个群的性质都不太一样，楼主你问的是哪个群呢？环包括群环、分次环、半环、微分算子环、拟环等等，楼主又问的是哪个环呢？
基于对问题提的模糊不清，我只说群基本定义、交换群（一种常见的重要群）、结合环（环的主要研究对象）、域的基本定义，说说三者的区别和联系
概念如下：
1、群，域，环都是代数系统（非空集合+运算+规则）
2、群的定义=[非空集合V]+[一个称之为“乘法”的二元运算（对V中任意a，b，ab=c属于V）]+[结合律、单位元ae=ea=a、逆元aa-1=e]
3、交换群就是上面的群还满足交换律，也称作加群，ab=ba 此时单位元用0表示，称作零元
4、为了知道环，先说说半群，半群就是上面的群只满足结合律即可，那么环=[非空集合V]+[两个二元运算（一个称之为加法，一个称之为乘法）]+[V对加法构成交换群（加群），V对乘法构成半群，乘法对加法满足分配律]
5、域=[非空集合V]+[两个二元运算（一个称之为加法，一个称之为乘法）]+[V对加法构成交换群，V对乘法是非零元构成交换群，乘法对加法满足分配律]
由以上定义可以看出
1、群是含一个二元运算，由单位元和逆元，而交换群（加群）是还要满足交换律，半群是群的扩展，只满足结合律
2、环是两个二元运算、对加法构成加群，对乘法构成半群，满足分配律
3、域是两个二元运算，对加法构成加群，对乘法构成非零元的交换群，满足分配律
注意半群是群的扩展，自然包括交换群，用一句形象的话来说（仅对上面的定义），群最小、域其次、环最大
我看有人回答“域是在交换环的基础上，还增加了二元运算除法”这句话是不对的，域定义中没有除法运算这个概念，环和域中都有乘法运算自然也就包括了除法这个逆运算，这句话可以这样说，交换环和域是等价的，因为交换环对乘法构成的是交换群，而不是半群，
此外补充一下，数环、数域的定义
数环：特殊数集、复数集的非空子集P中如果和、差、乘积仍属于P，那么P称为数环
数域：特殊数集、复数集的非空子集P中如果和、差、乘积、商（除数不含0）仍属于P，那么P称为数域
由此可见数环、数域只是以数为集合的概念，而与抽象代数中环、域是有些区别的，后者更加广义
离散数学正规子群定义
这是抽象代数的内容:
集合是基本概念,相当于一类/一堆/全体/...你该理解，不说了。
群是特殊的集，在它上面可以定义一种运算（通常叫做“乘法”，但跟数的乘法无必然联系），要封闭/可结合/有单位元（类似乘1/加0）/有逆元（类似乘倒数/加相反数）...
例如，正有理数是乘法群，非零有理数也是乘法群，整数集在加法下成群。
注意，群不要求交换律，如果满足交换律，叫阿贝尔群（或加法群）。
环和域的要求就更高了，不必给你讲抽象的，只在数的范围内讨论：
在加/减/乘下封闭的数集是数环，如果数环在除法下也封闭，就叫数域。
某数的倍数全体（包括负的）成一数环，有理数集是最小的数域，实数集/复数集也是数域。
更深的内容参见大学课本，抽象代数/近世代数之类......
什么叫代数意义
代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程（组）的通用解法及其性质的数学分支。初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。
代数是数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。例如： 1/2 xy +1/4z-3x+2/3. 一个代数方程式 (参见EQUATION)是通过使多项式等于零来表示对变量所加的条件。
如果只有一个变量，那么满足这一方程式的将是一定数量的实数或复数——它的根。一个代数数是某一方程式的根。代数数的理论——伽罗瓦理论是数学中最令人满意的分支之一。建立这个理论的伽罗瓦(Evariste Galois，1811-32)在21岁时死于决斗中。他证明了不可能有解五次方程的代数公式。用他的方法也证明了用直尺和圆规不能解决某些著名的几何问题(立方加倍，三等分一个角)。多于一个变量的代数方程理论属于代数几何学，抽象代数学处理广义的数学结构，它们与算术运算有类似之处。参见，如： 布尔代数(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩阵(MATRICES);四元数(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。这些结构以公理 (见公理法 AXIOMATICMETHOD) 为特征。特别重要的是结合律和交换律。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。
代数的含义
代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程（组）的通用解法及其性质的数学分支。初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。望采纳，谢谢
