等价替换乘除怎么换例子 高数，等价无穷小替换条件 1可以直接换，2不能，是否是乘可以换，加减不可以直接换？
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等价无穷小替换原则
这要看具体情况，实际上加减之所以不能换，主要原因在于可能将更高阶的小量的作用忽略掉。举个简单的例子，比如计算极限
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-sin x}{x^3}
如果直接将 sin x 换成 x,那么就会得到极限是 0. 但事实上，
sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4),于是原极限等于 \frac{1}{6},而不是 0.
这里就是因为虽然 x 和 sin x 是等价无穷小量，但并不意味着完全相同，
同时有 x-sin x 与 x^3 是同阶的。
也就是说，两个等价无穷小量的差是一个更高阶的小量(请证明)，但是不一定是 0，一换就弄成 0 去了，当然是有问题的(即便碰巧答案对了，比如将上面的例子中的分母换成 x^2,答案就是 0,方法也是不对的)。
但是有时等价量是可以换的，比如两个等价量相加，就可以换，因为主部不会相互抵消而只留下高阶量。
乘除当然可以换，因为主部不变。(严格的叙述及证明请自己补上)
高等数学 等价无穷小替换问题
1、“等价无穷小的替换一般发生在计算两个无穷小的比值的极限（或者说是两个无穷小极限值之比）时”。
[评析] 完全正确！
2、“等价无穷小在是乘除时可以替换，加减时不可替换”。
[评析] 不完全对！
如果只是无穷小之间的加加减减时，结果一定还是无穷小，完全可以替代。
如果加减时，还涉及到其他运算，则不能一概而论。
只要是等价无穷小，都可以替换。
3、“在计算等价无穷小之比的极限时，理论上要替换，是要替换掉分子上的无穷小（整个式子），或者分母上的无穷小（整个式子），这时其实是将整个分子或分母当作一个无穷小”。
[评析]：完全正确！
4、“而如果分子或分母上的无穷小不是由一个因式（如单单一个SIN X,或tan X）构成的，而是由多个因式通过相乘除或相加减构成的，如 ln（1+x）* x 和ln（1+x）+ x 。那么可以找一个与ln（1+x）* x 或 ln（1+x）+ x 的等价无穷小量来替换他。
因为ln（1+x）*X 这个无穷小是由两个因式 想乘而成的，所以替换掉其中一个ln（1+x）为 x，之后形成的x^2 就是ln（1+x）* x的 等价无穷小，所以可以替换。而ln（1+x）+ x ，因为其是由两个因式相加而形成的无穷小量，所以如果替换掉ln（1+x）为X，而形成的2X不是ln（1+x）+ x的等价无穷小，所以也就不能替换”。
[评析]：楼主被网上误导了！
x 与 ln(1+x） 是同价无穷小
x^2 与 x*ln(1+x) 仍然是同价无穷小 。
2x 与〔x + ln(1+x)〕也是同价无穷小。
楼主后面受网上误导不浅。赶紧纠正。
高数，等价无穷小替换条件 1可以直接换，2不能，是否是乘可以换，加减不可以直接换？
其实加减是有条件的替换
加减项中如果每一项都是无穷小，各自用等价无穷小替换以后得到的结果不是0，则是可以替换的。用泰勒公式求极限就是基于这种思想。
举一个例子让你明白：
求当x→0时，(tanx-sinx)/(x^3)的极限。
用洛必塔法则容易求得这个极限为1/2。
我们知道，当x→0时，tanx～x，sinx～x，若用它们代换，结果等于0，显然错了，这是因为x-x=0的缘故；
而当x→0时，tanx～x+(x^3)/3，sinx～x-(x^3)/6，它们也都是等价无穷小（实际上都是3阶麦克劳林公式），若用它们代换：tanx-sinx～(x^3)/2≠0，就立即可以得到正确的结果。
你自己再去找找资料看看吧。。。。
极限的四则运算与等价替换的问题
还是举个刚刚最简单的例子limtanx-sinx/x^3,如果对分子等价无穷小分子就变成零了，但实际上无论tanx与sinx多么接近，他俩总是不相等的，这个不相等的阶就和x^3等同，因为0比任何数都是高阶无穷小，整个式子的整除只是为了比较其中的这个阶，所以可以代换，至于是否加减代换，你可以通过泰勒展开来思考，因为等价其实就是取了泰勒展开的前几项，而舍弃了后面。有疑问请追问。
高数，关于等价无穷小 的替换问题
这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。
1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理
lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)
其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。
2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：
f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！
问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为
ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，
所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x，那么
ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，
此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。
碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：
ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)
那么
ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)
这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。
从上面的例子就可以看出来，余项很重要，不能直接扔掉，因为余项当中包含了一定的信息。而且只要保留余项，那么所做的就是恒等变换(注意上面我写的都是等式)而不是近似，这种方法永远是可行的，即使得到不定型也不可能得出错误的结论。等你学过带余项的Taylor公式之后对这一点就会有更好的认识。
