对角化矩阵有什么用 什么是对角矩阵

量子力学中，矩阵或算符的对角化有什么意义？对角化矩阵，对角矩阵有什么重要的性质？矩阵的对角化和若尔当标准型有什么意义？

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• 量子力学tr是怎么计算的
• 为什么要进行矩阵对角化
• 什么是对角矩阵
• 矩阵对角化有什么应用

量子力学tr是怎么计算的

1.量子力学中的算符都是Hilbert空间中的Hermite算符，必定可以酉对角化，这个是谱分解定理，通过对角化可以得到算子所有的信息，也就是波函数以及对应的能量。

2.虽然谱分解定理表明了理论上的存在性，但是没有很一般的步骤来实现对角化，数值上当然是可以做到的。

为什么要进行矩阵对角化

施密特正交对角化得到的矩阵是正交矩阵，至少有两个好处

什么是对角矩阵

定义：所有非主对角线元素全为零的n阶矩阵称为对角矩阵

性质：

1、对角矩阵为n阶方矩阵

2、对角矩阵的秩等于主对角线上非零元素的个数

3、对角矩阵的迹等于主对角线上非零元素的和

4、对角矩阵的Jordan标准型即为其本身

5、若对角矩阵主对角线上的元素均非零,则对角矩阵非奇,存在逆矩阵,且逆矩阵也为对角矩阵,其主对角线元素为原对角矩阵主对角线元素的倒数

矩阵对角化有什么应用

特征值互异时，矩阵A的相似变换可转为纯对角阵(Λ)。特征值既有异根也有重根时，矩阵A的相似变换一般为若当块对角阵(J)。若当块矩阵是广义的对角阵，包含了特殊情形的纯对角阵Λ。若当块对角阵可用于数学上求解一阶微分方程组。对微分方程组的系数矩阵求特征值，特征代数方程往往既有异根亦有重根，所以对系数矩阵相似变换得到若当块对角阵(J)，然后求指数若当矩阵 e^(J·t)，再求标准基解矩阵 e^(At)＝S· e^(J·t)· (S逆)，最终求出一阶微分方程组的函数解。从更普遍意义理解，矩阵对角化就是若当块对角化。一阶微分方程组(状态变量法)在时域动态电路中有较多物理应用。