秩为1有什么性质 矩阵的秩与特征值个数有什么关系
矩阵A的平方等于LA,r(A)=1,则L具有什么性质？秩等于1的矩阵都有什么特征？秩为1矩阵有什么性质？单位向量是什么，为什么秩为1？一个矩阵的迹和秩都为1,能得出什么结论？秩等于1的矩阵,它的特征值为什么是这样的？
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a乘a的伴随矩阵等于a的行列式证明
秩为1的矩阵有个特点，就是一定可以写成一个列向量乘以一个行向量
设A=αβ’（α，β都是列向量）
则A^2=αβ’αβ’=α(β’α)β’
注意到，(β’α)正好是A的迹tr(A) （把A写出来很容易看出来）
所以秩为1的矩阵有性质：A^2=tr(A)A
知道了这个接下来就好办了
A^2=LA 其实就是
tr(A)A=LA
L就是这个性质呗，即：L对A左作用后得到常数tr(A)再乘以A这个矩阵
所以L相对于A是一个乘法算子。
A的n次方当然也行啦。。。利用A=αβ’容易知道，A^n=[tr(A)]^(n-1)A
其实和A就相差一个常数倍，所以是一回事！
知道一个矩阵的秩可以知道什么
行列成比例，可分解为左列右行乘积且N次幂等于矩阵的迹N-1次方乘矩阵本身
特殊情况 如果该矩阵为方阵 那么必有特征值为（主对角线元素代数和、还有n-1个0）
矩阵的秩等于常数意味着什么
设A是秩为1的n阶方阵, 则
1. A可表示为αβ^T, 其中α,β为n维列向量
2. A^k = (α^Tβ)^(k-1)A
3. tr(A)=α^Tβ
4. A的特征值为 α^Tβ,0,0,...,0
注: α^Tβ=β^Tα
单位向量为什么是错的
单位向量是指模等于1（长度为1）的向量，
单位向量因为只有一个向量（不是向量组），所以必为行向量或列向量，
秩的意思就是最大线性无关的向量组个数，行/列向量（非0向量）只有一个向量，所以线性无关的向量只有一个。所以秩为1
怎么判断一个矩阵的秩例题
迹为1,说明矩阵的特征值和为1；
秩为1,说明矩阵的任意两行或两列都线性相关；可表示为A=a×b‘ 的形式,其中a,b为列向量； 还可得到 0是n-1重特征值,其中n为矩阵的阶数；
再结合迹为1的性质,可得另外一个特征值是1
秩为1的矩阵才有这个性质,那个6是矩阵主对角线上元素之和 再答： 这样的矩阵可以表示为一个列向量与一个行向量的乘积
这它的n次幂经由结合律就可得到结论
、，也就是一个矩阵与另一个矩阵相乘后，新矩阵的秩一定不大于原矩阵。怎么证明呢，结合线性结合线性方程组的有解性来进行证明的，AB=C，已经说明了AX=C是有解的，而线性方程组的有解性与矩阵的秩的关系说明了R（A）=R（A，C），所以A的秩大于等于C的秩，再将此矩阵两边转置，再根据线性方程组的解与矩阵的秩间关系同理可得A的秩大于等于C的秩.当我们学习了与线性表示有关的系统性理论后对这个定理会有更直观的理解。
2、矩阵左乘列满秩矩阵后新矩阵的秩与原矩阵的秩一样，此结论希望引起大家重视，此结论就是同济大学第五版70页的例9，大家可以参照此过程。
3、给出一个关于矩阵的秩的一般性的结论，
矩阵的秩与特征值个数有什么关系
按照秩的定义（行/列向量由几个线性无关的向量张成），秩等于1的矩阵一定可以写成A=ab, 其中a，b是列向量。那么所有和b正交的向量都是A的特征值为0的特征向量。行列成比例，可分解为左列右行乘积且N次幂等于矩阵的迹N-1次方乘矩阵本身。
秩在线性代数中，一个矩阵的秩是其非零子式的最高阶数，一个向量组的秩则是其最大无关组所含的向量个数。
相关信息：
在解析几何中，矩阵的秩可用来判断空间中两直线、两平面及直线和平面之间的关系。
在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的（或可观察的）。
数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个已持续几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。 矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。
