什么是极大线性无关组 怎样判断向量组线性无关
什么是极大线性无关组？如何理解极大线性无关组？高等代数，什么是极大线性无关组？极大线线性无关组，什么是极大无关组？怎么判别？向量组中极大线性无关组如何找？是如何定义的？
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极大线性无关组不唯一有几种情况
基本定义
定义
设S是一个n维向量组,α1,α2,...αr 是S中的部分向量或整个向量组.如果
(1) α1,α2,...αr 线性无关;
(2)S中的每一个向量都可以由α1,α2,...αr 线性表示, 那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组,或极大无关组。
注解
（1）只含零向量的向量组没有极大无关组。
（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一。但是每个极大线性无关组的向量组的个数都相同。
性质定理
基本性质
性质1：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
性质2:向量组的任意两个极大无关组都是等价的。
相关定理
一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。 向量组A={a1,a2,…,an}，向量组B={b1,b2,…,br}是A的部分向量组，即B是A的子集，如果向量组B线性无关，且向量组A中每一个向量都可以由向量组B中的向量线性表示，则向量组B称为是向量组A的一个极大线性无关组。 一个向量组的极大线性无关组并不一定是唯一的，但一个向量组的任何一个极大线性无关组中所含的向量个数是确定的，这个数称为向量组的秩。
极大线性无关组个数怎么判断
极大无关组 就象班里的班长副班长 他们能代表全班 但又缺一不可
极大无关组本身线性无关 ( 无多余向量 缺一不可)
它又能表示向量组中任一向量 (是班里选的代表)
把向量按列构成一矩阵
用初等行变换化成行阶梯
非零行的首非零元所在的列对应的向量即构成一个极大无关组
如向量组 a1,a2,a3,a4
构成矩阵 (a1,a2,a3,a4)
化成
1 2 3 4
0 0 2 4
0 0 0 5
则极大无关组就是 a1,a3,a4
线性代数和高等代数有什么区别
定义
设S是一个n维向量组,α1,α2,...αr 是S的一个部分组,如果
(1) α1,α2,...αr 线性无关；
(2) 向量组S中每一个向量均可由此部分组线性表示,
那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组,或极大无关组.
怎么理解极大无关组和线性无关
在变换到阶梯矩阵之后，每一行第一个非零元素所在列对应的向量组合起来就是极大线性无关组。极大线性无关组一般都不是只有1个，只要向量组自身不是极大线性无关组，那么就一定有2个或以上的极大线性无关组，但是一般习惯于用数字小的向量，比如会选择X1、X2、X3，而不会选择X1、X2、X4。在找到一个极大线性无关组之后，组外的向量可以用这个极大线性无关组来表示，那么同样，这个极大线性无关组里的一个向量也可以用极大线性无关组里的其他向量和一个组外的向量来表示，这样就找到了另一个极大线性无关组。以我之前回答的一个极大线性无关组的问题为例。 1 -1 2 -2 1 1 -1 2 -2 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 2 -1 3 -2 1 → 0 1 -1 2 -1 → 0 1 -1 2 -1 → 0 1 -1 2 -1 3 -2 5 -1 3 0 1 -1 5 0 0 0 0 3 1 0 0 0 3 1 4 -2 6 -1 3 0 2 -2 7 -1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 所以极大线性无关组是X1、X2、X4，X3=X1-X2，X5=-5/3X2+1/3X4。从最后的阶梯矩阵看，第二行可以不选第一个数1对应的向量，可以选-1对应的向量，那么极大线性无关组就是X1、X3、X4，X2=X1-X3，X5=5/3X1-5/3X3+1/3X4。也可以第三行不选3对应的向量，选1对应的向量，那么极大线性无关组就是X1、X2、X5，X2=X1-X3，X4=5X2+3X5。总之，阶梯矩阵阶梯上的数对应的向量都可以选，注意一定是阶梯上，这些数一定下面是0或者已经是矩阵最下面一行。每级阶梯上选出一个数，它们对应的向量就可以组成一个极大线性无关组。
怎么判定是不是极大线性无关组
向量组的极大无关组满足2个条件：
1、自身线性无关。
2、向量组中所有向量可由它线性表示。
例题的解法：
构造矩阵 (a1，a2，a3，a4)，对它用行变换化成梯矩阵。
非零行的首非零元所在的列对应的向量就是一个极大无关组。
5 4 1 3
2 1 1 4
-3 -2 -1 -1
1 3 -2 2
化成了行简化梯矩阵：
1 0 1 0
0 1 -1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
所以极大无关组是: a1，a2，a4
且 a3 = a1-a2+0a4
扩展资料：
极大无关组的概念可以推广到含无限个向量的情形。因此，线性空间V的任一个基可看成V的极大无关组。特别的，齐次线性方程组的基础解系是其解空间的极大无关组。
设V是域P上的线性空间，S是V的子集。若S的一部分向量线性无关，但在这部分向量中，加上S的任一向量后都线性相关，则称这部分向量是S的一个极大线性无关组。V中子集的极大线性无关组不是惟一的，例如，V的基都是V的极大线性无关组。
任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。
若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。
参考资料来源：百度百科——极大线性无关组
参考资料来源：百度百科——极大无关组
怎样判断向量组线性无关
首先把这个向量组化为行最简形即阶梯矩阵，找到每列非零元素即可，例如：
a1 ;a2 ;a3 ;a4
1 ; ;0 ; ;1 ; ; 0
0 ; ;1 ; ;1 ; ; 0
0 ; ;0 ; ;0 ; ; 1
0 ; ;0 ; ;0 ; ; 0
极大线性无关组即为：a1，a2，a4；a2，a3，a4；a1，a3，a4；a1，a2，a3不是极大无关组。
极大线性无关组是线性空间的基对向量集的推广。设V是域P上的线性空间，S是V的子集。若S的一部分向量线性无关，但在这部分向量中，加上S的任一向量后都线性相关，则称这部分向量是S的一个极大线性无关组。
V中子集的极大线性无关组不是惟一的，例如，V的基都是V的极大线性无关组。它们所含的向量个数（基数）相同。V的子集S的极大线性无关组所含向量的个数（基数），称为S的秩。
基本性质：
（1）只含零向量的向量组没有极大无关组；
（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；
（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量；
（4）齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。
（5）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
（6）一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。
（7）若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。
