为什么矩阵作积之后秩变小 矩阵的秩的八大性质
为什么2个矩阵相乘后的秩会变小？？？为什么2个矩阵相乘后的秩会变小？两个矩阵乘积的秩为何能小于两个中小的那个？矩阵乘积的秩不大于各矩阵的秩 解释，如何证明两矩阵乘积的秩小于等于每个矩阵的秩？矩阵乘积的秩是什么？
本文导航
两个矩阵相加秩怎么变化
这是因为乘积的矩阵的行或列向量组
可以由原矩阵的行或列向量组线性表示
矩阵相乘时能有两个结果吗
这个说法不准确，因为2个n阶可逆矩阵相乘后，秩不变，仍是n
如何证明两个矩阵的和的秩
设AB=C，将矩阵B分块为B=(b1,b2,...,bs) ，C分块为C=（c1,c2,...,cs）
则AB=(Ab1,Ab2,...,Abs) = （c1,c2,...,cs）
即 Abi=ci 其中i=1,2，.......，s
可知矩阵C的第i个列向量均是由矩阵A的所有列向量线性组合而成，而组合系数即为矩阵B的第i列的各分量。
既然C可以有矩阵A线性表示，即r（C）<=r(A)。
同理对B进行行分块也可证明。
扩展资料：
用向量组的秩定义
向量组的秩：在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑m×;n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩。
则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵A的线性无关纵列的极大数目，即;A的列空间的维度。因为列秩和行秩是相等的，我们也可以定义;A的秩为;A的行空间的维度。
用线性映射定义
考虑线性映射：对于每个矩阵A，fA都是一个线性映射，同时，对每个的 线性映射f，都存在矩阵A使得;f=;fA。也就是说，映射是一个同构映射。所以一个矩阵;A的秩还可定义为fA的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。
矩阵;A称为;fA的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为;n减;f的核的维度；秩-零化度定理声称它等于;f的像的维度。
参考资料：百度百科--秩
矩阵的秩的八大性质
两个矩阵相乘可能使某一行或者某一列为零，从而是秩减小，但是原来是零的一行或者一列乘过以后还是零，所以秩不可能增大，只会不变或者减小。
证：由于K是满秩方阵，因此可逆，存在K逆，等式两边同时左乘K逆，得
K逆( )=( )，第一个括号里是beta那个向量组，第二个括号里是alpha那个向量组
这样就说明alpha那个向量组可由beta那个向量组线性表示，因此两向量组可以互相线性表示，所以两向量组等价，由于等价向量组秩相同，因此beta那个向量组的秩也是s，因此beta向量组线性无关。
扩展资料：
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
定理：初等变换不改变矩阵的秩。
定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。
定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
参考资料来源：百度百科-矩阵的秩
两个矩阵相乘秩等于多少
求采纳
矩阵的秩如何计算
矩阵乘积的秩相乘之后变小或者不变。
矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rankA。
类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
相关定义：
方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或rank（A）m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)，有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩，类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。
设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。
