什么样的函数不可积 不可积分的函数一般有哪些
函数不可积是什么情况？什么样的函数不可积，函数可积不可积需要怎么验证？有什么函数是不可积的？哪些常见的初等函数是不可积的，如何判断一个函数不可积，方便求积分的一些方法？哪些函数不可积。
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函数绝对可积的条件
楼上的例子是正确的, 但理论依据是错误的.
数学分析里面指出, 如果在定义域内有有限的不连续点, 则函数可被黎曼积分.
但如果不连续点的数目是无穷的, 则函数不能被黎曼积分.
设f(x) = 1若x为有理数且f(x)=0若x为无理数, 则f(x)在[0,1]上黎曼不可积 (其他积分方法仍然可能成立)
分析: 因为有理数和无理数在[0,1]内都是稠密的, 所以无论如何对[0,1]进行分割, 在每段小区间内总有有理数和无理数, 所以函数在此区间内的最小值是0, 最大值是1, 所以求和上限的极限是1, 求和下限的极限是0, 两者不收敛于同一个值, 所以黎曼不可积.
常见的不可积分函数
正态分布函数的密度函数是不可积的，虽然它的原函数(即不定积分)存在，但不能用初等函数表达出来。
习惯上，如果一个已给的连续函数的原函数能用初等函数表达出来，就说这函数是“积得出的函数”，否则就说它是“积不出”的函数。比如下面列出的几个积分都是属于“积不出”的函数，但是这些积分在概率论，数论，光学，傅里叶分析等领域起着重要作用。
（1）∫e^(-x²)dx；（2）∫(sinx)/xdx；
（3）∫1/(lnx)dx；（3）∫sinx²dx；
（5）∫根号(a²sin²x+b²cos²x)dx(a²≠b²)
标准正态分布函数：Φ(x)=[1/根号(2π)]∫(-∞,x)e^(-x²/2)dx
这个函数是不可积的，但是它的原函数是存在的，只是不能用初等函数表示而已。 习惯上，如果一个已给的连续函数的原函数能用初等函数表达出来，就说这函数是“积得出的函数”，否则就说它是“积不出”的函数。比如下面列出的几个积分都是属于“积不出”的函数 ∫e^(-x*x)dx,∫(sinx)/xdx,∫1/(lnx)dx,∫sin(x*x)dx ∫(a*a*sinx*sinx+b*b*cosx*cosx)^(1/2)dx(a*a不等于b*b) -------------------------------------- 以下是从别人那粘贴过来的..原函数我也不知道,不过希望下面的对你有帮助 ___________________________________ 下面证明∫sint/tdt=π/2(积分上限为∞，下限为0） 因为sint/t不存在初等函数的原函数，所以下面引入一个“收敛因子”e^(-xt)(x>=0),转而讨论含参量的积分。 I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (积分上限为∞，下限为0） 显然： I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞，下限为0） I`(x)=∫∂（e^(-xt)sint/t)/∂x dt (积分上限为∞，下限为0） =∫e^(-xt)sin(t)sint(积分上限为∞，下限为0） =e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限为∞，下限为0） =-1/(1+x^2) 从而有 I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1) |I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt| ≤∫|e^(-xt)sint/t|dt ≤∫e^(-xt)dt =-(1/x)*e^(-xt)|(对t的积分原函数，上限为∞，下限为0） =1/x －－>0 (x－－>+∞) 即lim(I(x))－－>0 (x－－>+∞) 对（1）式两端取极限： lim(I(x))(x－－>+∞) =-lim(-arctan(x)+C ) (x－－>+∞)
=-π/2+C 即有0=-π/2+C，可得C=π/2 于是（1）式为 I(x）=-arctan(x)+π/2 limI(x）=lim(-arctan(x)+π/2) (x－－>0) I(0)=π/2 所以有 I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞，下限为0）=π/2 因为sinx/x是偶函数，所以 ∫sint/tdt(积分上限为∞，下限为-∞） =π 。 ...
不可积函数怎么求积分
超越积分
超越积分(通常也称为不可积),也就是说这个积分的原函数不能用我们所学的任何一种函数来表示.但如果引入新的函数erf(x)=∫[0,x]e^(-t^2)dt,那么该函数的积分就可表示为erf(x)+c.
道理很简单,比如∫x^ndx,一般的该积分为1/(n+1)x^(n+1),如果不引入lnx,那么∫1/xdx就不可积了.因此对于一些积分,如果不引入新的函数,那么那些积分就有可能不可积,而且这种情况还会经常遇到.因此对于一些常见的超越积分,一般都定义了相关的新函数.
下面就介绍几个常见的超越积分(不可积积分)
1.∫e^(ax^2)dx(a≠0)
2.∫(sinx)/xdx
3.∫(cosx)/xdx
4.∫sin(x^2)dx
5.∫cos(x^2)dx
6.∫x^n/lnxdx(n≠-1)
7.∫lnx/(x+a)dx(a≠0)
8.∫(sinx)^zdx(z不是整数)
9.∫dx/√(x^4+a)(a≠0)
10.∫√(1+k(sinx)^2)dx(k≠0,k≠-1)
11.∫dx/√(1+k(sinx)^2)(k≠0,k≠-1)
以后凡是看到以上形式的积分,我劝你不要继续尝试,因为以上积分都已经被证明了为不可积积分.但是要注意的是,虽然以上积分的原函数不是初等函数,但并不意味着他们的定积分不可求,对于某些特殊点位置的定积分还是有可能算出来的,只不过不能用牛顿-莱布尼茨公式罢了!
比如∫[0,+∞)e^(-x^2)dx=√π/2,此处的积分值就是用二重积分和极限夹逼的方法得出的,而且只能算出(-∞,+∞)或是(0,+∞)上的值,其他的值只能用数值方法算出近似值.
再如∫[0,+∞)(sinx)/xdx=π/2,此处就是用留数理论得出的
什么不算基本初等函数
初等函数都是可积的，初等函数的组合也是可积的，但是可积不等于积得出来
不可积分的函数一般有哪些
你可以翻翻书，看看这一段的篇幅 这两个问题都太大了。
1）判断一个函数不可积需要用定积分的定义、可积的充要条件或可积的必要条件，除了最后一种（利用可积的必要条件判断一个函数不可积）外都不是很容易的。
2）求积分的所有有效的方法教材上都一一讨论过
函数不可积分的条件
正态分布函数的密度函数是不可积的，虽然它的原函数(即不定积分)存在，但不能用初等函数表达出来。
从数学分析老说，有界函数都可积，无界函数可能可积，可能不可积。 注意一个问题，原函数无法写出和不可积不是一个概念。
