单调有界数列怎么判 怎么证明单调有界数列必有极限？
什么是有界数列？怎么证明？如图，如何证该数列是单调有界，并如何求极限？求解答？怎样证明数列（1+1/n）^n是单调有界数列？怎么证明单调有界数列必有极限？如何证明数列单调有界？高数 关于数列的单调有界准则。
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有界数列是不是既有上界又有下界
定义：若存在两个数A，B(设A<B)，数列 中的每一项都在闭区间[A，B]内，亦即 ，则称 为有界数列．这时A称为它的下界，B称为它的上界．关于有界数列有下面几点说明．
(1)如果B是数列 的上界，那么B＋1，B＋2，B+α(α>0)都是 的上界．这表明上界并不是惟一的，下界也是如此．
(2)对于数列 ，如果存在正整数N，当n>N时，总有 ,我们就说数列 往后有界．要注意，往后有界一定是有界的，这是因为在N项之前只有有限多个数 在这有限个数中必有最大的数和最小的数，设 ， 那么min(A，α)和max(B，β)就是整个数列 的下界和上界．
(3)有界数列也可以这样叙述：若存在一个正数M，使得 ，就称 是有界数列．或者也可以这么说，若存在原点O的一个M邻域O(O，M)，使得所有 ，就称 是有界数列，这种叙述和上面所给出的定义显然是等价的．
证明数列的有界性,常用的方法是放缩法和数学归纳法。
另外画图.可以帮助你做一般题
或者根据题给出的部分条件,判断是否单调什么的.没发具体说方法.
收敛数列一定有界,但有界数列不一定有收敛
如图，如何证该数列是单调有界，并如何求极限？求解答～
由通项公式知道an={（n+9）/（2n-1）}*a[n-1]={1/2+19/（4n-2）}*a[n-1]
当n＞10时，an＜a[n-1]，
由此知，当n＞10，该数列单调递减，又由通项知，an＞0，所以an有界，
由单调有界性知其极限一定存在，
设此极限为b，则当n趋于无穷大时等式b=b*{（n+9）/（2n-1）}成立
从而解得此极限为b=0
这道题还可以把an进行放大来求解，放大后看起来会简单些，
放大后得到an的通项为an＜bn=（a10）*（1/2）^(n-10),由bn趋于0
可得an也趋于0，从而an的极限是0
至于放大那里，我就不详细写了，你自己去试试吧
怎样证明数列（1+1/n）^n是单调有界数列
记Xn＝(1＋1/n)^n，按二项式定理展开：
Xn＝(1＋1/n)^n
＝1＋n/1!×1/n＋n(n-1)/2!×1/n^2＋n(n-1)(n-2)/3!×1/n^3＋.......＋n(n-1)(n-2)......*2*1/n!×1/n^n
＝1＋1＋1/2!×(1－1/n)＋1/3!×(1－1/n)(1－2/n)＋......＋1/n!×(1－1/n)(1－2/n)...[1－(n-1)/n]
X(n+1)＝[1＋1/(n+1)]^(n+1)
＝1 ＋ (n+1)/1!×1/(n+1) ＋ n(n+1)/2!×1/(n+1)^2 ＋ (n+1)n(n-1)/3!×1/(n+1)^3＋.......＋(n+1)n(n-1)(n-2)......*2/n!×1/(n+1)^n ＋ (n+1)n(n-1)(n-2)......*2*1/(n+1)!×1/(n+1)^(n+1)
＝1＋1＋1/2!×(1－1/(n+1))＋1/3!×(1－1/(n+1))(1－2/(n+1))＋......＋1/n!×[1－1/(n+1)][1－2/(n+1)]...[1－(n-1)/(n+1)]＋1/(n+1)!×[1－1/(n+1)][1－2/(n+1)]...[1－(n-1)/(n+1)][1－n/(n+1)]
X(n+1)比Xn多一项，且除了前面两个1以外的其余每项都比Xn的对应项小，所以Xn＜X(n+1)，所以数列{(1＋1/n)^n}单调
又
0＜Xn＝1＋1＋1/2!×(1－1/n)＋1/3!×(1－1/n)(1－2/n)＋......＋1/n!×(1－1/n)(1－2/n)...[1－(n-1)/n]
＜1＋1＋1/2!＋1/3!＋...＋1/n!
＜1＋1＋1/2＋1/2^2＋...＋1/2^(n-1)
＝3－1/2^n
＜3
所以，数列{(1＋1/n)^n}有界
怎么证明单调有界数列必有极限？
同济课本上对这个定理的说明是: 对于这个定理我们不做证明,只是给出它的在数轴上的几何意义,你可以参看一下. 若要考试这个问题不会考定理证明的,而是要你先用证明某个数列的单调性,然后再证明这个数列的有界性,从而得出这个数列必是收敛的,也就是有极限存在, 然后在数列满足的已知等式两边取极限假设为A,然后求方程解出A,这个A就是数列的极限值. 简单的说,就是跟根据这个准则然后寻找两个条件从而说明极限的存在,然后算出极限值.
如何证明数列单调有界
假设x(k)<√3+1，则x(k+1)<√(3+√3+1)<√3+1，归纳可得x(n)<√3+1
数列的单调性介绍
单调有界准则：
单调增函数有上界则有上确界，单调减函数有下界则有下确界。
若数列单调递增有上界，或单调递减有下界，则数列必存在极限。对于递推类的数列经常使用这一原则求极限（所谓递推数列就是后一项是可以由前一项通过式子推出来的），在使用这个原则时一般包括两个步骤：
1、证明数列有界(数学归纳法)，单调；
2、假设数列极限为A，通过递推式两端求极限建立关于A的方程，从而求出极限A。
