为什么正交化 施密特正交变换法公式
如果线性无关的一组向量做为空间的基，空间上任意向量都可以由这组基唯一表示出，那为什么还要做正交化？将向量组正交化，为什么将向量组正交化什么时候要？线性代数中1.为什么要正交化，2.为什么要单位化.具体解释下谢谢？为什么特征向量正交化并单位化后仍为原矩阵的特征向量？为什么会有矩阵的正交化和单位化？为什么实对称要施密特正交化？
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怎样证明向量组线性无关
因为正交基两两正交，且模长为1
那么任一个向量和正交基的每一个向量做内积，即得坐标。这是好处。
再比如，每个向量的坐标的每个元素的平方和，即为其自己和自己的内积。
让所有内积统一（同构的意义下）成标准内积的情形（即对应分量的积的和）。
。。。。
好处实在太多。
为什么要把正交的向量单位化
在线性代数中,如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间,那么这一组向量就称为这个子空间的一个基.Gram－Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基,并可进一步求出对应的标准正交基.
这种正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名,然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法.在李群分解中,这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition）.
在数值计算中,Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的,计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差.因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化
线性代数单位化的例题
张宇线代讲得很清晰，用坐标系来理解更容易。拿三阶来说就是三个维度为立体，二次型转换相当于将原来的坐标整个以原点为定点转一定角度。然后得到一个新的三维空间坐标系，为了保证坐标轴都垂直对应线代里面的正交化，为了保证新坐标长度不变则要进行单位化。当维数高了就无法用空间理解，但依然可以根据三维来推导理解。谢谢采纳
特征向量为什么必须单位化
1、因为特征向量的正交化是局限在同一特征值的特征向量，特征向量是对应齐次线性方程组的解，所以特征向量的非零线性组合仍是特征向量。正交化所得向量与原向量等价，所以仍是特征向量，由此可知单位化后也是特征向量。
2、特征向量定理：
谱定理在有限维的情况，将所有可对角化的矩阵作了分类：它显示一个矩阵是可对角化的，当且仅当它是一个正规矩阵。注意这包括自共轭（厄尔米特）的情况。这很有用，因为对角化矩阵T的函数f(T)（譬如波莱尔函数f）的概念是清楚的。
在采用更一般的矩阵的函数的时候谱定理的作用就更明显了。例如，若f是解析的，则它的形式幂级数，若用T取代x，可以看作在矩阵的巴拿赫空间中绝对收敛。谱定理也允许方便地定义正算子的唯一的平方根。
扩展资料：
1、共轭特征向量：
一个共轭特征向量或者说共特征向量是一个在变换下成为其共轭乘以一个标量的向量，其中那个标量称为该线性变换的共轭特征值或者说共特征值。共轭特征向量和共轭特征值代表了和常规特征向量和特征值相同的信息和含义，但只在使用交替坐标系统的时候出现。
例如，在相干电磁散射理论中，线性变换A代表散射物体施行的作用，而特征向量表示电磁波的极化状态。在光学中，坐标系统按照波的观点定义，称为前向散射对齐 (FSA)，从而导致了常规的特征值方程，而在雷达中，坐标系统按照雷达的观点定义，称为后向散射对齐 (BSA)，从而给出了共轭特征值方程。
2、特征问题：
一个广义特征值问题(第二种意义)有如下形式
其中A和B为矩阵。其广义特征值(第二种意义)λ 可以通过求解如下方程得到
形如A − λB的矩阵的集合，其中λ是一个复数，称为一个“铅笔”。 若B可逆，则最初的问题可以写作标准的特征值问题。但是，在很多情况下施行逆操作是不可取的，而广义特征值问题应该如同其原始表述来求解。
如果A和B是实对称矩阵，则特征值都为实数。这在上面的第二种等价表述中并不明显，因为矩阵B − 1A未必是对称的。
参考资料来源：百度百科 - 特征向量
矩阵正交化的计算方法
为了使作用矩阵p成为“正交矩阵”（“正交矩阵”的列向量是单位化正交化
的）。这样才可以使“合同”与“相似”统一起来。从而才可以用“特征方法”
解决实对称矩阵“合同”于对角阵的问题。
（p^（-1）ap＝p′ap＝对角阵,一定要p^（-1）＝p′.
o.k
?）
施密特正交变换法公式
因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量一定正交。而我们只需要把相同特征值对应的几个特征向量正交化即可。
而斯密特正交化还有一特点，不仅正交化，还单位化，即每个向量的模都是1。
最后我们得到一组相互正交，而且模都是1的向量组。这个向量组有个特点，任意一个向量与自己做内积，结果都等于1，而其它向量的内积都等于0。于是这样的向量组构成的矩阵，转置即为它的逆。即变换矩阵P的逆，只要转置一下即可得到。
