怎么讨论函数的连续性 高等数学 怎样讨论狄利克雷函数的连续性？
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如何讨论一个函数的连续性？是求定义区间还是说明左右极限相等！
连续性的定义是说在该点左极限等于右极限等于该点的函数值。
讨论函数连续性
1，即讨论分界点的极限值
x²+y²趋于0时
sin√x²+y²等价于√x²+y²
那么(x²+y²)/sin√x²+y²
等价于√x²+y²，趋于0
极限值等于函数值，所以连续
2，x不趋于0，y趋于0时
sin1/xy的极限值不存在
再乘以不趋于0的x
极限值不存在
讨论函数的连续性
先看几个定义：
（1）连续点：如果函数在某一邻域内有定义，且x->x0时limf(x)=f(x0)，就称x0为f(x)的连续点。
一个推论，即y=f(x)在x0处连续等价于y=f(x)在x0处既左连续又右连续，也等价于y=f(x)在x0处的左、右极限都等于f(x0)。
这就包括了函数连续必须同时满足三个条件：
（1）函数在x0 处有定义；
（2）x-> x0时，limf(x)存在；
（3）x-> x0时，limf(x)=f(x0)。
初等函数在其定义域内是连续的。
（2）连续函数：函数f(x)在其定义域内的每一点都连续，则称函数f(x)为连续函数。
（3）连续性与可导性关系：连续是可导的必要条件，即函数可导必然连续；不连续必然不可 导；连续不一定可导。典型例子：含尖点的连续函数
讨论函数的连续性与可导性
高等数学 怎样讨论狄利克雷函数的连续性？
该函数在有理数点不连续，无理数点连续。
证明思路：因为实数域上有理数是可列的(有理数可表示为{N/M},N,M均为全体整数)，古有理数点都是离散的点，故函数值为1的点（有理数点）均离散。根据实数的连续性，任意两个相邻的有理数间有无穷多个无理数，这些无理数对应的函数值均为0，故在该函数无理数点连续。
（1）当x=0时，f(x)=0，在R上是连续的；
（2）当x不等于0时，
若x为有理数，则f(x)=x，若x是无理数，则f(x)=0，
从而由极限定义易得，f(x)在x处无极限，从而不连续。
扩展资料：
狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。
在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）
对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）。
参考资料来源：百度百科-狄利克雷函数
怎么讨论函数的连续性？
讨论函数的连续性：
对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。
在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。
一致连续性：
闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在I上是一致连续的。
证明：利用有限覆盖定理：如果H是闭区间[a,b]的一个无限开覆盖，那么能从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]。
