计算三重积分用什么公式 曲面积分与三重积分的关系
怎样计算三重积分？尽量通俗易懂？三重积分的计算公式，三重积分计算公式具体怎么得到的，能否说下？如何计算三重积分∫∫∫dV？用高斯公式计算三重积分∫∫∫（xy+yz+zx）dxdydz,其中V是由x≥0,y≥0,z≥0,x，三重积分球面坐标公式是什么？
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求三重积分的步骤
其实,三重积分,就是把一重积分和二重积分的扩展
三重积分及其计算
一,三重积分的概念
将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义
其中 dv 称为体积元,其它术语与二重积分相同
若极限存在,则称函数可积
若函数在闭区域上连续, 则一定可积
由定义可知
三重积分与二重积分有着完全相同的性质
三重积分的物理背景
以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量
下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法.
二,在直角坐标系中的计算法
如果我们用三族平面 x =常数,y =常数, z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体
其体积为
故在直角坐标系下的面积元为
三重积分可写成
和二重积分类似,三重积分可化成三次积分进行计算
具体可分为先单后重和先重后单
三重积分的计算例题以及答案
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三重积分计算题300道
三重积分也是体积积分
先对长x和宽y的面积积分
再对z的高度积分即可
二重积分计算图
计算三重积分的方法如下：
一、直角坐标系法
适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法
1、先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。
区域条件：对积分区域Ω无限制；
函数条件：对f（x,y,z）无限制。
2、先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。
区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成
函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。
二、柱面坐标法
1、适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设
区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；
函数条件：f（x,y,z）为含有与（或另两种形式）相关的项。
三、球面坐标系法
1、适用于被积区域Ω包含球的一部分。
区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥面也可以；
函数条件：f（x,y,z）含有与相关的项。
扩展资料：
三重积分的几何意义：
三重积分就是立体的质量。
当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。
当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。
球面坐标下计算三重积分
解析如下：
令P=xy²,Q=yz²,R=zx²。
∵αP/αx=y²,αQ/αy=z²,αR/αz=x²。
∴由高斯公式,得原式=∫∫∫(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz。
=∫∫∫(x²+y²+z²)dxdydz。
=∫<0,2π>dθ∫<0,π/2>dφ∫<0,R>r²*r²sinφdr。
=(2π-0)(1-0)(R^5/5-0)。
=2πR^5/5。
设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ）。
作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。
曲面积分与三重积分的关系
三重积分球面坐标公式是：
1、球面：x^2+y^2+z^2=R^2，球心在（0，0，0)，半径为R。球面坐标系下方程为r=R，x^2+y^2+z^2=2Rz。
2、圆柱面：x^2+y^2=R^2。
3、圆锥面：z=√（x^2+y^2)，半顶角为π／4。球面坐标系下方程为Φ＝π／4。
4、抛物面：z=x^2+y^2。
5、平面：ax+by+cz+d=0。
向量空间中，有两种方法将三个向量相乘，得到三重积，分别称作标量三重积和向量三重积。设;a ，b ，c;是空间中三个向量，则（a×b）·c;称为三个向量;a;，b;，c;的混合积，记作[a b c];或（a,b,c）或（abc）。标量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积，其结果是个赝标量。
