矩阵相似是什么意思 相似矩阵的性质总结
矩阵的等价和相似有什么区别？矩阵相似与矩阵合同有什么区别？矩阵相似度是什么意思？什么是相似矩阵？线性代数 相似矩阵的定义，两矩阵相似有什么结论？
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矩阵等价有什么条件吗
矩阵等价:对于矩阵A(m*n)来说，有可逆的矩阵P,Q使PAQ=B，那么B就与A等价，实质上就是A经过有限次的初等变换得到B。
设A，B为n阶矩阵，如果有n阶非奇异矩阵P存在，使得P^(-1)*A*P=B成立,则称矩阵A与B相似,记为A~B.
由上述定义可以，相似矩阵必须为相同的方阵；等价矩阵只需要（m*n）相同。
可见，相似矩阵就是等价矩阵，但是其定义比等价矩阵严格。
矩阵相似在实际问题中的应用
矩阵相似与矩阵合同具体的不同点在于：
矩阵相似的例子中，P-1AP=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是二者有相等的不变因子；可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；矩阵相似必等价，但等价不一定相似。
2. 矩阵合同的例子中，CTAC=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同；可通过二次型的非退化的线性替换来理解；矩阵合同必等价，但等价不一定合同。
3. 总结：矩阵的相似和矩阵的合同都是由线性空间中坐标系的转换引起的。我们在线性空间中定义矩阵和向量的乘法，并将矩阵理解成线性空间中“运动”的施加，变换坐标系之后，同一个“运动”在不同坐标系下是相似的关系。我们在线性空间中定义向量的内积（或者说双线性型），同一个双线性型运算在不同坐标系下相差合同矩阵。之所以要换坐标系，就是为了在最简单的坐标系下看清问题的本质。
扩展资料
一.矩阵相似：
1.概念：
定义1设A,B都是n阶矩阵, 若存在;可逆矩阵P,使
P^(-1)AP=B,则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B;相似。记为A~B.
对进行运算称为对进行相似变换, 称可逆矩阵为相似变换矩阵.
矩阵的相似关系是一种等价关系，满足：
(1);反身性: 对任意阶矩阵,有相似;
(2) 对称性: 若相似, 则与相似;
(3) 传递性: 若与相似, 则与相似。
2.性质：
定理:若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从 A与B的特征值亦相同.
相似矩阵的其它性质:
(1) 相 矩阵的秩相等;
(2) 相似矩阵的行列式相等;
(3) 相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似。
二.;合同矩阵;：
1.定义:同矩阵：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得则称;方阵A与B合同，记作。
在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中二次型用的矩阵是;实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。
2.性质：
合同关系是一个等价关系，就是说满足：1、;反身性：任意矩阵都与其自身合同；2、 对称性：;A合同 B，则可以推出;B合同于;A；3、 传递性：;A合同于B，B合同于C，则可以推出;A合同 C；4、合同矩阵的;秩相同。
3.矩阵合同的主要判别法：
（1）B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在;复数域上合同;等价于A与B的秩相同.
（2）B均为实数域上的;n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负的个数对应相等）。
参考资料
相似矩阵的条件是什么
没有关系。
矩阵相似度一般是指两个矩阵所有元素之间的相似程度
矩阵相似主要考虑其特征值。
相似矩阵的性质总结
在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得
P^(-1)AP=B
则称矩阵A与B相似，记为A~B。
扩展资料n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。
注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。
若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：
（1） 求出全部的特征值；
（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；
（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。
参考资料来源：百度百科－相似矩阵
线性代数伴随矩阵和可逆矩阵公式
在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得
P^(-1)AP=B
则称矩阵A与B相似，记为A~B
矩阵相似得出的结论
两矩阵相似有：特征值是相同的，行列式也是一样的，相似就合同，两个矩阵主对角线的和是一样的。如果矩阵相似，那么其代表的就是不同坐标系（基）的同一个线性变换。
可以得出：<=>正负惯性指数相同<=>正惯性指数,秩相同=>秩相同特征值是相同的，行列式也是一样的，相似就合同，两个矩阵主对角线的和是一样的。如果矩阵相似，那么其代表的就是不同坐标系（基）的同一个线性变换。
几何光学：
采用近轴近似（英语：paraxial approximation），假若光线与光轴之间的夹角很小，则透镜或反射元件对于光线的作用，可以表达为2×2矩阵与向量的乘积。这向量的两个分量是光线的几何性质（光线的斜率、光线跟光轴之间在主平面。
这矩阵称为光线传输矩阵（英语：ray transfer matrix），内中元素编码了光学元件的性质。对于折射，这矩阵又细分为两种：“折射矩阵”与“平移矩阵”。折射矩阵描述光线遇到透镜的折射行为。平移矩阵描述光线从一个主平面传播到另一个主平面的平移行为。
