为什么数列的界不等于极限 为什么要证明极限存在
单调有界数列必有极限 为什么极限不等于它的界？单调递增数列的上界为何不是极限？？？高等数学中界与极限到底是什么关系？为什么说数列是有界数列,但数列不一定有极限？为什么有极限就一定有界？有界不一定有极限？
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数列的有界和数列的极限的区分
只证明单增的情况
已知Xn<M，M>0，设极限为A。
求证：A<=M
证明：假设A>M
A-M<|Xn-A|
由于ε是任意给定，所以我们给定ε<A-M，但是|Xn-A|<ε对于任意ε成立，故而矛盾。
因此M>=A。
单减同理
最后A<M时，因为任意给定ε，都能使|Xn-A|<ε成立，这是显然的，这样就保证极限成立了。但是我们无法证明A=M，因为M>A时极限也存在，所以极限不一定就是边界。
单调有界数列必有极限怎么理解
你自己好好翻翻书，一个单调数列的上界（如果有的话）有无数个，你说说哪个是它的极限呢？
只有最小的那个上界才是它的极限。
比如(1+1/n)^n，你可以说e是它的上界，你也可以说3是它的上界，但是它的极限是e，而不是3。
高等数学证明极限存在的方法
对于数列来说，极限存在，则一定有界；但有界不一定极限存在，，，
数列有极限和数列收敛的关系
收敛的数列必有界,有界的数列不一定收敛.如果数列不仅有界,而且是单调的,则其极限必定存在
为什么要证明极限存在
1、有极限就一定有界
回忆极限定义，任取ε>0，存在N>0，当n>N时，有|xn-a|<ε
证：设数列{xn}的极限a，则由极限定义，对于ε=1，存在N>0，当n>N时，（N是个有限数）
有|xn-a|<1，则
|xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|
取M=max{
|x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a|
}
则我们会发现，所有的
|xn|<M，（因为M=max{
|x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a|
}，因此M比数列中前N个数的绝对值都要大，当n>N后，所有的
|xn|
均小于1+|a|≤M）
因此{xn}有界。
2、有界不一定有极限
比如：f(x)=sinx,在R上有界，但是x趋近于无穷是没有极限。
极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
扩展资料
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。
在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：
（1）函数在
点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。
（2）函数在
点导数的定义，是函数值的增量
与自变量的增量
之比
，当
时的极限。
（3）函数在
点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。
（4）数项级数的敛散性是用部分和数列
的极限来定义的。
（5）广义积分是定积分其中
为，任意大于
的实数当
时的极限，等等。
