矩阵等价什么意思什么算是等价矩阵

盼一旧2022-08-11 10:08:544713

什么是矩阵等价有这个定义么？矩阵等价是什么意思？矩阵的等价有什么意义？我只知道函数极限的等价有用？离散数学中矩阵的行等价是什么意思？什么叫矩阵等价？什么是矩阵等价？

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矩阵相似是不是一定等价
什么算是等价矩阵
两个矩阵等价的充分必要条件
离散数学中所有概念
矩阵等价的公式
矩阵等价怎么判断

矩阵相似是不是一定等价

矩阵的相似：

设A,B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)*A*P=B成立,则称矩阵A与B相似,记为A~B.

矩阵合同:

两个矩阵和是合同的,当且仅当存在一个可逆矩阵 ,使得A=P^T*B*P.

矩阵的等价：

存在可逆矩阵P、Q,使P*A*Q=B,则A与B等价,充要条件就是R(A)=R(B)

什么算是等价矩阵

矩阵等价：

在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=Q-1AP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。

性质

1.矩阵A和A等价(反身性）；

2.矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；

3.矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；

4.矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)

5.具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解

6.对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：

（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。

扩展资料:

证明

a1,a2,....an,线性无关，而a1,a2,....an,b,r线性相关，所以有x1a1+x2a2+....xnan+xb+yr=0,若y=0,则x1a1+x2a2+....xnan+xb=0,说明a1,a2,...an,b线性相关，同理x=0,可得a1,a2,....an,r线性相关。

若x,y都不为零，两边除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,这表示b可以用a1,a2,....an,r.表示。若除以y可证明r可以用a1,a2,....an,b表示。这就说明a1,a2,....an,b与a1,a2,....an,r等价.综合可得命题得证。

当A和B为同型矩阵，且r（A）=r（B）时，A，B一定等价。

参考资料:百度百科-----等价矩阵

两个矩阵等价的充分必要条件

举个例子，解析几何中为了求线段AB的长度，要先建立坐标系，在这个坐标系下写出A,B两点的坐标，再根据公式求出AB长度。注意这里的坐标系是可以任意选取的，选择的坐标系不同，A.B两点的坐标就不同，但AB的长度是不会变化的，也就是说长度是坐标变换下的不变量。回到矩阵和线性方程组的问题，考虑最简单的一元方程x+1=0和2x+2=0，它们的解相同，但方程的形式不一样，像这样改变线性方程组的形式但不改变解的性质（有无解，解是否唯一等），翻译成矩阵语言就是，对矩阵做初等变换后矩阵的秩不变，我们称这样两个矩阵是等价的。像这种“在变化中找不变”的例子还有很多，例如线性变换中矩阵的迹是不变量等，而我们往往对这些不变量最感兴趣。有了矩阵等价的概念，我们解线性方程组时就不用再对每个方程进行变化了，而直接研究其系数构成的矩阵，对其进行初等变换，就可以了解方程组的解的情况，并求出方程组的解。矩阵等价用矩阵乘法表示出来就是，矩阵A,B等价的充要条件是存在可逆矩阵P和Q使得B=PAQ。注意线性代数中关于两个矩阵之间的很多关系其实都是等价关系，例如A,B合同要求存在可逆矩阵C，使得B=(C^T)AC，A,B相似要求存在可逆矩阵P，使得B=P^(-1)AP，注意这些情况里A和B都满足等价的定义。也就是说矩阵合同和矩阵相似都是矩阵等价中的特例。