什么是无零因子环 怎么证明无零因子
证明一个至少有两个元素的且没有零因子的有限环，R是一个除环，数学中的环是什么意思？不属于无零因子环的是 整数环，偶数环，高斯整环，z6，无零因子环消去律一定成立吗？不属于无零因子环的是 A.整数环 B.偶数环 C.高斯整环 D.Z6，是无零因子环。
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正定矩阵性质及证明
证：设V为R中非零元构成的集合。由题意知V中至少含有一个元。对于任意a，b属于V，因为R中的乘法构成半群，所以a*b属于R。因为R是无零因子环，a和b都不等于0，所以a*b属于V，即V对乘法运算满足封闭性。显然任何V里的元对乘法满足结合律，所以V对乘法构成半群。又因为R是无零因子环，乘法满足消去律，故V中的乘法也满足消去律。因此，任意一个满足消去律的有限半群构成一个群。于是R中所有非零元构成群，故R是一个除环。
数学中的数的含义
环的定义
一个环是由一个集合R和两种二元运算 + 和 · 组成，这两种运算可称为加法和乘法。一个环必须遵守以下规律：
(R, +)形成一个可交换群，其单位元称作零元素，记作‘0’。即：
(a + b) = (b + a)
(a + b) + c = a + (b + c)
0 + a = a + 0 = a
∀a ∃(−a) 满足 a + −a = −a + a = 0
(R, ·)遵守：
1·a = a·1 = a （仅限于含幺环）
(a·b)·c = a·(b·c)
乘法关于加法满足分配律：
a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
(a + b)·c = (a·c) + (b·c)
注意乘法中的·常常被省略，所以 a·b 可简写为 ab。 此外，乘法是比加法优先的运算，所以 a + bc 其实是 a + (b·c)。
几类特殊的环
含单位元环：
在环的定义中，对于乘法单位(1)的存在并没有做明确的要求。如果一个环R对于乘法有单位元存在(称幺元素或幺元或单位元，记作‘1’)，则这个环称为含幺环或含单位元环。
交换环：
虽然环的定义要求加法具有交换律，但并没有要求乘法也具有交换律。如果我们上面定义的乘法具有交换性：ab=ba，那么这个环就称为交换环。
除环：
主条目：除环
如果含单位元环R去掉关于加法的单位元0后，对于乘法形成一个群（一般来说环R对乘法形成半群），那么这个环就称为除环。除环不一定是交换环，比如四元数环。交换的除环就是域。
无零因子环：
一般来说环R对乘法形成半群，但R\{0}对乘法不一定形成半群。因为如果有两个非零元素的乘积是零，R\{0}对乘法就不是封闭的。如果R\{0}对乘法仍然形成半群，那么这个环就称为无零因子环。
这个定义实际上等价于任意两个非零元素的乘积非零。
整环：
主条目：整环
整环是含单位元的无零因子的交换环。例如多项式环和整数环。
主理想环：
主条目：主理想环
每一个理想都是主理想的整环称为主理想环。
唯一分解环：
主条目：唯一分解环
如果一个整环R中每一个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环.
商环：
主条目：商环
素环：
主条目：素环
例子：
整数环是一个典型的交换且含单位环。
有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。
所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的多项式环。
n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。
环的理想
主条目：理想
右理想： 令R是环， 那么环R与其加法 + 构成阿贝尔群。令I是R的子集。那么I称为R的右理想 如果以下条件成立：
(I, +) 构成 (R, +) 的子群。
对于任意 和 有 。
左理想： 类似地，I称为R的左理想如果以下条件成立：
(I, +) 构成 (R, +) 的子群。
对于任意 和 有 。
如果I既是右理想，也是左理想，那么I就叫做双边理想，简称理想。
例子：
整数环的理想：整数环Z只有形如的nZ理想。
除环的理想：除环中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。
一般性质：
定理1 在环中，(左或右)理想的和仍然是(左或右)理想。
定理2 在环中，(左或右)理想的交仍然是(左或右)理想。
对于R的两个理想A，B，记。按定义不难证明下面的基本性质：
(1) 如果A是R的左理想，则AB是R的左理想；
(2) 如果B是R的右理想，则AB是R的右理想；
(3) 如果A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。
如果A环R的一个非空子集，令<A>=RA+AR+RAR+ZA，则<A>是环R的理想，这个理想称为R中由A生成的理想, A称为生成元集。同群的生成子群类似，<A>是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：
(1) 当是交换环时，<A>=RA+ZA
(2) 当是有单位元1的环时，<A>=RAR
(3) 当是有单位元交换环时，<A>=RA
主理想：如果是个n元集合，则记，称是有限生成理想.特别当是单元素集时，称为环R的主理想。注意作为生成元一般不是唯一的，如。的一般形式是：
性质：
几类特殊环中的主理想：
(1) 如果是交换环，则
(2) 如果是有单位元的环，则
(3) 如果是有单位元的交换环，则
真理想： 如果I是R的真子集，I就叫做R的真理想。
极大理想： 一个真理想I被称为R的极大理想，如果没有其他真理想J,使得I是J的真子集。
极大左理想：设 I 是环R的左理想，如果并且在 I 与R之间不存在真的左理想，则称 I 是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系：
(1)如果 I 是极大左理想，又是双边理想，则 I 是极大理想。
(2)极大理想未必是极大左理想。
除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。除环是单环，域也是单环。反之则不对，即存在不是除环的单环。
定理1 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
定理2 设R是有单位元1的交换环。理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环R / I是域。
定理3 设 I 是环R的左理想，则 I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有I + J = R。
素理想：真理想I被称为R的素理想，如果对于R的任意理想A，B， 可推出 或 。
素环：如果环R的零理想是素理想，则称R是素环(或质环)。无零因子环是素环。在交换环R中，真理想 I 是素理想的充分且必要条件是：R / I是素环.
半素理想：设 I 是环R的理想，并且。如果对任意理想P，由，可得，则称 I 是环R的半素理想。
显然，半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。
证明整数环是主理想环
Z6不是无零因子环。因为2乘3模6得0
什么时候使用消零因子法
当然了。无左零因子的充要条件是左消去律成立，无右零因子的充要条件是右消去律成立。在环中，无左零因子等价于无零因子等价于无右零因子等价于消去律成立等价于非零元关于乘法成半群
环中零元素是零因子么
选D。
A B C都是整环，整环的定义中的一个条件就有无零因子。
D的话，他有三个零因子，分别是2 3 6
怎么证明无零因子
对.如果p是素数,那么就是无零因子环
