曲面积分怎么计算 曲面积分求详细计算
曲面积分求详细计算，计算曲面积分，利用高斯公式计算曲面积分！急！急！急，求闭合曲面积分。
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曲面积分求详细计算
这是第二型曲面积分，曲面的显示表达式为z＝－根号(R^2－x^2－y^2)
法向量的第三个分量是－1，记D为x^2+y^2<=R^2，于是
原积分＝二重积分_(D) x^2*y^2*(－根号(R^2－x^2－y^2))*(－1)dxdy
注意上式最后一个－1是因为求的是下侧。
用极坐标x＝rcosa，y＝rsina，jacobian行列式为r，
＝积分（从0到R）dr 积分（从0到2pi）r^4*cos^2a*sin^2a*根号(R^2－r^2)rda
关于a的积分＝积分（从0到2pi）(1－cos4a)/8=pi/4。
关于r的积分在做变量替换r＝sina，0<=a<=pi/2，
化为积分（从0到pi/2）sin^5a*cos^2ada
=1/3－2/5+1/7＝8/105，最后得
＝2pi/105。
计算曲面积分
曲面积分过于复杂，不好算。随手算了，容易出错。建议看老师讲的答案
利用高斯公式计算曲面积分！急！急！急！
分别对x、y、z求偏导数后转化为一个三重积分后有，3∫∫∫ydxdydz 积分域为实心立方体。 到此可以直接用直角坐标积分这个三重积分得出结果。但是本人这里使用一个对称技巧。
3∫∫∫ydxdydz=3∫∫∫[(y-1/2)+1/2] dxdydz =3∫∫∫(y-1/2) dxdydz +3∫∫∫（1/2） dxdydz =0 + 3∫∫∫（1/2） dxdydz =（3/2）×1 =3/2（1为这个单位立方体体积。
注意∫∫∫(y-1/2) dxdydz 因为这个立方体关于平面y-1/2=0对称，且y-1/2=0为奇次方，所以积分值为0）。
扩展资料：高斯公式介绍：
1、基本概念：
首先，我们来看一下什么是高斯公式。
有一个定理如下：
设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有
或
这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cos;α、cos;β、cosγ;是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦。其中的两个公式均叫做高斯公式。
2. 应用：
在计算曲面积分时，可以利用高斯公式把曲面积分化成三重积分。
在应用时需要注意定理的适用条件。定理中有三个关键词：围成、具有一阶连续偏导数、外侧。在使用时，注意以下几点：
（1）先看看积分域是不是一个闭区域，如果不是，那么就需要补个面（一般是平面）。
（2）注意闭区域（无论是否是补面之后形成的）内是否在∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z处连续（即奇点），如果是奇点，还需要用补面来把奇点去掉。
（3）注意题目给定曲面的侧，到底是内侧还是外侧。
下图可以简明地列出这几个点：
补面①一般是补平面，补面②一般是球面、椭球面、半球面、半椭球面等。灵活运用就可以了。
求闭合曲面积分
看以下两点来理解18题的问题。
①，用高斯公式求曲面积分，是用于【封闭曲面】围成空间区域的情况下。如果是封闭曲面的外侧，就在三重积分前加+号；如果是封闭曲面的内侧，就在三重积分前加-号。
②，对于曲面∑不是封闭曲面的曲面积分，人为地添加适当的曲面∑0，使得∑0与∑共同构成封闭曲面，这时就可以考虑用高斯公式了。需要注意两件事。第一，添加的曲面需要自行给出其侧，原则是要与∑的侧一致地成为封闭曲面的外侧或内侧。第二，原积分式=∫∫∑…
=【∫∫∑…+∫∫∑0…】-∫∫∑0…★
上式★中，对【……】，用高斯公式，符号的问题遵①。式★中的∫∫∑0…，用曲面积分的计算公式直接算即可。上述二者算出的值相减即得答案。
