级数1 n 2-n为什么发散 级数n的n次方是发散还是收敛
无穷级数 1/n 为何是发散的？ 无穷级数1/（n^2）和(1/n^3)又为何是收敛的？最好用图像作逻辑判断？级数1/n发散的意义是什么？级数1/n为什么发散，当n趋于无穷时不是0么？为什么级数1/2，n从1到无穷是发散的？为什么级数1/n是发散的而级数1/n^2是收敛的？
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无穷级数基本概念
第一个级数 称为调和级数 利用微分中值定理 可以证明1/n>ln(1+1/n) (构造y=lnx x在（n,n+1）)
级数1的部分和>ln（n+1）
第二个级数 无穷级数1/（n^2)<级数1/n(n+1) 后面的级数 分项 易证收敛
第三个级数 级数 (1/n^3)<无穷级数1/（n^2) 利用正项级数的比较收敛准则 易证收敛
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级数n的阶乘分之一是收敛的吗
首先对于p-级数∑1/n^p有很好的性质：p≤1时发散，p>1时收敛。对于这种形式的级数，其是否收敛完全取决于一般项趋于0的速度，一般项趋于0的速度越快级数越有可能收敛，例如1/n^2比1/n趋于0的速度快（即n趋于无穷时1/n^2是比1/n更高阶的无穷小），因此p=1就是一个临界点，因为任何比1大的p都是收敛的，即调和级数∑1/n是p-级数中发散速度最慢的级数，事实上你可以自己计算一下调和级数的前几项，它的增长速度是非常慢的，以至于直观上观察这个数列的前几项都想象不出增长如此慢的级数竟然会是发散的。另外关于调和级数还可以多说一点就是，它和对数函数lnx有着相同的阶，即lim(1+1/2+...+1/n-lnn)存在，这个极限称为欧拉常数，记作c=lim(1+1/2+...+1/n-lnn)，c约等于0.5772，关于这个欧拉常数c是否是无理数，至今无人能给出证明，这是一个“未解之谜”。
级数n分之一为什么是发散
记S[n]=1+1/2+...+1/n。假设它收敛到S。
可见，S[2n]=S[n]+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)>S[n]+1/(2n)+1/(2n)+...+1/(2n)
=S[n]+n/(2n)=S[n]+1/2.
两边让n→∞得到S=S+1/2，无解。所以它是发散的。
无穷级数从1开始和从0开始
因为1/2乘以无穷大还是无穷大，所以级数发散。任何非零常数项级数都是发散的。
级数n的n次方是发散还是收敛
用积分判别法。
收敛级数（convergent series）是柯西于1821年引进的，它是指部分和序列的极限存在的级数。收敛级数分条件收敛级数和绝对收敛级数两大类，其性质与有限和（有限项相加）相比有本质的差别，例如交换律和结合律对它不一定成立。
收敛级数的基本性质主要有：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变；两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数；在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性；原级数收敛，对此级数的项任意加括号后所得的级数依然收敛；级数收敛的必要条件为级数通项的极限为0。
性质
在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。
证明：我们只需证明“在级数的前面部分去掉、加上有限项，不会改变级数的收敛性”，因为其他情形（即在级数中去掉、加上或改变有限项的情形）都可以看成在级数的前面部分先去掉有限项，然后再加上有限项的结果。
