正交对角化是什么意思 什么是相似对角化
矩阵的正交对角化，什么是正交对角化？为什么正交矩阵能使矩阵化为对角阵？用正交变换化简二次型与正交相似对角化有什么区别？正交矩阵相似对角化；可逆矩阵相似对角化；可对角化；这三者有什么区别？正交对角化和相似对角化的区别。
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一般矩阵对角化的步骤
将对称矩阵正交对角化的方法：
1. 求出对称矩阵A的特征值；
2. 由（AE ）x= 0 ，求出矩阵A对应的特征的特征向量；
3. 将属于的特征向量施密特正交化；
4. 将所有特征向量单位化。
什么叫矩阵正交化
将对称矩阵正交对角化的方法：
1.求出对称矩阵A的特征值；
2.由（AE ）x= 0 ,求出矩阵A对应的特征的特征向量；
3.将属于的特征向量施密特正交化；
4.将所有特征向量单位化.
对角矩阵为什么不是可逆矩阵
P^-1AP = 对角矩阵
正交对角化要求 P 是正交矩阵,即P可逆且 P^-1 = P^T
即是相似变换又是合同变换,用于二次型
可逆矩阵相似对角化
一般考虑的是方阵,并不要求方阵可逆,要求 P 可逆
可对角化就是A可相似对角化,即存在可逆矩阵P使得 P^-1AP = 对角矩阵
对角化与正交化的区别
n元二次型化标准形，具体解题步骤：
1、写出二次型矩阵A
2、求矩阵A的特征值（λ1，λ2，...，λn）
3、求矩阵A的特征向量（α1，α2，...，αn）
4、改造特征向量(单位化、Schmidt正交化)γ1，γ2，...，γn
5、构造正交矩阵P=(γ1，γ2，...，γn)
则经过坐标变换x=Py，得
xTAx=yTBy=λ1y1²+λ2y2²+...+λnyn²
相似对角化，具体解题步骤：
1、求矩阵A的特征值 （λ1，λ2，...，λs，设λi是ni重根）
2、求矩阵A的每一个特征值λi，求(λiE-A)x=0的基础解系（设为Xi1，Xi2，...，Xini）
（上面两步来判断A是否可以对角化）
3、构造P=(X11，X12，...，X1n1，X21，X22，...，X2n2，...，Xs1，Xs2，...，Xsns)，则
P-1AP=diag(λ1，...，λ1，λ2，...，λ2，...，λs，...，λs)
其中有ni个λi（i=1，2，...，s）
显然易知二者的区别。
都是先求特征值，再特征向量。
正交变换，需要改造特征向量，使其满足正交化的特征。
相似对角化可以直接用特征向量，对于实对称矩阵相似的正交矩阵，则过程一样。
实际上二次型是实对称矩阵 ！！！
二次型的正交化就是实对称矩阵用正交矩阵把实对称矩阵化为对角矩阵的过程。
它是一种特殊矩阵的相似化过程。
newmanhero 2015年6月12日22:07:56
希望对你有所帮助，望采纳。
如何判断矩阵是否可以相似对角化
P^-1AP =;对角矩阵。
正交对角化要求 P 是正交矩阵, 即P可逆且 P^-1 = P^T。即是相似变换又是合同变换, 用于二次型。
可逆矩阵相似对角化。一般考虑的是方阵, 并不要求方阵可逆, 要求 P 可逆。
可对角化就是A可相似对角化, 即存在可逆矩阵P使得 P^-1AP =;对角矩阵。
扩展资料：
在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。
1.方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；
2.方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；
3.A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
4.A的列向量组也是正交单位向量组。
5.正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
参考资料来源：百度百科-正交矩阵
什么是相似对角化
相似正交对角化的本质就是相似对角化,它只是把相似对角化的变换矩阵中包含的特征向量单位化及正交化了而已.
如果A能对角化其对角相似矩阵一定是其特征值在对角线上排布组成的矩阵.不同的只是顺序不同没有本质差别.
相似的一个重要充分条件就是两个矩阵特征值相同.
两个矩阵特征值对应成比例是不相似的.根据定义两边再取行列式显然不成立.
