怎么证明泰勒不等式 泰勒不等式是什么？

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运用泰勒公式证明不等式

此处给出一个当[a,b]为[0,1]时的证明过程，很容易将其修改为[a,b]区间的证明，[a,b]的证明在此处输入很不方便。

证明：将f(x)在 1/2 处展开得

证明：证明：f(1)=f(x0)+f’(x0)(1-x0)+(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 ξ1∈(x0,1)

f(0)=f(x0) +f’(x0) (-x0)+ (f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 ξ2∈(0, x0)

由f(0)=f(1)可得

f’(x)= (f’’(ξ2)/2!)( x0)2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)2

由于x0∈（0，1）时，x02+ (1-x0)2<=1，因此

Ⅰf’(x)Ⅰ=Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2Ⅰ<= Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2Ⅰ +Ⅰ(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 Ⅰ

f(x)在[0,1]上有二阶连续的导数,

所以 Ⅰf’’(ξ2)Ⅰ<=maxⅠf’’(x)Ⅰ

Ⅰ(f’’(ξ1)Ⅰ<=maxⅠf’’(x)Ⅰ

Ⅰf’(x)Ⅰ=Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2Ⅰ<= Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2Ⅰ +Ⅰ(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 Ⅰ<= 1/2 * maxⅠf’’(x)Ⅰ( x0)^2+1/2 * maxⅠf’’(x)Ⅰ(1-x0)^2=(1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ[x0^2+ (1-x0)^2]

<=(1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ

上式对一切x0∈（0，1）成立，由f’(x) 在[0,1]上的连续性知道，对一切x0∈（0，1），上式也成立，从而

max Ⅰf’(x)Ⅰ <= (1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ

怎么用泰勒公式证明不等式

。

注意f(x0)是常数，可以提到积分号之外，因此得到你划线部分：。

注意f(x0)是常数，可以提到积分号之外，因此得到你划线部分：。

泰勒公式不等式证明这一步为什么

证明：将f(x)在 1/2 处展开得

证明：证明：f(1)=f(x0)+f’(x0)(1-x0)+(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 ξ1∈(x0,1)

f(0)=f(x0) +f’(x0) (-x0)+ (f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 ξ2∈(0,x0)

由f(0)=f(1)可得

f’(x)= (f’’(ξ2)/2!)( x0)2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)2

由于x0∈（0,1）时,x02+ (1-x0)2

泰勒级数证明不等式...

你泰勒展开，余项呢？没写余项你怎么得出来这个不等式的，二者相差高阶无穷小。

泰勒不等式是什么？

泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。

泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。