数学高考文科模拟题 2021高考模拟示范卷数学答案
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高考数学模拟题精编详解第二套试题
题号 一 二 三 总分
1～12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
分数
说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．
1．（理）全集设为U，P、S、T均为U的子集，若 （ ）＝（ ） 则（ ）
A． B．P＝T＝S C．T＝U D． ＝T
（文）设集合 ， ，若U＝R，且 ，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≥2 C．m≤2 D．m≤2或m≤-4
2．（理）复数 （ ）
A． B． C． D．
（文）点M（8，-10），按a平移后的对应点 的坐标是（-7，4），则a＝（ ）
A．（1，-6） B．（-15，14） C．（-15，-14） D．（15，-14）
3．已知数列 前n项和为 ，则 的值是（ ）
A．13 B．-76 C．46 D．76
4．若函数 的递减区间为（ ， ），则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．-1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜1
5．与命题“若 则 ”的等价的命题是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．（理）在正方体 中，M，N分别为棱 和 之中点，则sin（ ， ）的值为（ ）
A． B． C． D．
（文）已知三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两互相垂直，底面ABC上一点P到三个面SAB，SAC，SBC的距离分别为 ，1， ，则PS的长度为（ ）
A．9 B． C． D．3
7．在含有30个个体的总体中，抽取一个容量为5的样本，则个体a被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（理）已知抛物线C： 与经过A（0，1），B（2，3）两点的线段AB有公共点，则m的取值范围是（ ）
A． ， [3， B．[3， C． ， D．[-1，3]
（文）设 ，则函数 的图像在x轴上方的充要条件是（ ）
A．-1＜x＜1 B．x＜-1或x＞1
C．x＜1 D．-1＜x＜1或x＜-1
9．若直线y＝kx＋2与双曲线 的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
10．a，b，c （0，＋∞）且表示线段长度，则a，b，c能构成锐角三角形的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
11．今有命题p、q，若命题S为“p且q”则“ 或 ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（理）函数 的值域是（ ）
A．[1，2] B．[0，2] C．（0， D． ，
（文）函数 与 图像关于直线x-y＝0对称，则 的单调增区间是（ ）
A．（0，2） B．（-2，0） C．（0，＋∞） D．（-∞，0）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分
答案
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上
13．等比数列 的前n项和为 ，且某连续三项正好为等差数列 中的第1，5，6项，则 ________．
14．若 ，则k＝________．
15．有30个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________．
16．长为l 0＜l＜1 的线段AB的两个端点在抛物线 上滑动，则线段AB中点M到x轴距离的最小值是________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）从一批含有13只正品，2只次品的产品中不放回地抽取3次，每次抽取一只，设抽得次品数为 ．
（1）求 的分布列；
（2）求E（5 -1）．
18．（12分）如图，在正三棱柱 中，M，N分别为 ，BC之中点．
（1）试求 ，使 ．
（2）在（1）条件下，求二面角 的大小．
19．（12分）某森林出现火灾，火势正以每分钟 的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火 ，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？
20．（12分）线段 ，BC中点为M，点A与B，C两点的距离之和为6，设 ， ．
（1）求 的函数表达式及函数的定义域；
（2）（理）设 ，试求d的取值范围；
（文）求y的取值范围．
21．（12分）定义在（-1，1）上的函数 ，（i）对任意x， （-1，1）都有：
；（ii）当 （-1，0）时， ，回答下列问题．
（1）判断 在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由．
（2）判断函数 在（0，1）上的单调性，并说明理由．
（3）（理）若 ，试求 的值．
22．（14分）（理）已知O为△ABC所在平面外一点，且 a， b， c，OA，OB，OC两两互相垂直，H为△ABC的垂心，试用a，b，c表示 ．
（文）直线l∶y＝ax＋1与双曲线C∶ 相交于A，B两点．
（1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点；
（2）是否存在这样的实数a，使A，B关于直线x-2y＝0对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．
参考答案
1．（理）A （文）B 2．（理）B （文）B 3．B 4．A 5．D
6．（理）B （文）D 7．B 8．（理）C （文）D 9．D 10．D 11．C
12．（理）A （文）A 13．1或0 14． 15．10080° 16．
17．解析：（1） 的分布如下
0 1 2
P
（2）由（1）知 ．
∴ ．
18．解析：（1）以 点为坐标原点， 所在直线为x轴， 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设 ， （a， （0，＋∞）．
∵ 三棱柱 为正三棱柱，则 ，B， ，C的坐标分别为：（b，0，0）， ， ， ， ， ， ，（0，0，a）． ∴ ， ， ， ， ， ．
（2）在（1）条件下，不妨设b＝2，则 ，
又A，M，N坐标分别为（b，0，a），（ ， ，0），（ ， ，a）．
∴ ， ． ∴
同理 ．
∴ △ 与△ 均为以 为底边的等腰三角形，取 中点为P，则 ， 为二面角 的平面角，而点P坐标为（1，0， ），
∴ ， ， ． 同理 ， ， ．
∴ ．
∴ ∠NPM＝90° 二面角 的大小等于90°．
19．解析：设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则
y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费
＝125tx＋100x＋60（500＋100t）
＝
＝
＝
当且仅当 ，即x＝27时，y有最小值36450．
故应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元．
20．解析：（1）当A、B、C三点不共线时，由三角形中线性质知
；
当A，B，C三点共线时，由 在线段BC外侧，由 或x＝5，因此，当x＝1或x＝5时，有 ，
同时也满足： ．当A、B、C不共线时，
定义域为[1，5]．
（2）（理）∵ ． ∴ d＝y＋x-1＝ ．
令 t＝x-3，由 ， ，
两边对t求导得： 关于t在[-2，2]上单调增．
∴ 当t＝2时， ＝3，此时x＝1． 当t＝2时， ＝7．此时x＝5．故d的取值范围为[3，7]．
（文）由 且 ， ，
∴ 当x＝3时， ．当x＝1或5时， ．
∴ y的取值范围为[ ，3]．
21．解析：（1）令 ，令y＝-x，则
在（-1，1）上是奇函数．
（2）设 ，则 ，而 ， ．即 当 时，
．
∴ f（x）在（0，1）上单调递减．
（3）（理）由于 ，
， ，
∴ ．
22．解析：（理）由 平面 ，连AH并延长并BC于M．
则 由H为△ABC的垂心． ∴ AM⊥BC．
于是 BC⊥平面OAH OH⊥BC．
同理可证： 平面ABC．
又 ， ， 是空间中三个不共面的向量，由向量基本定理知，存在三个实数 ， ， 使得 ＝ a＋ b＋ c．
由 且 ＝ ＝0 b ＝ c ， 同理 ．
∴ ． ①
又 AH⊥OH，
∴ ＝0
②
联立①及②，得 ③
又由①，得 ， ， ，代入③得：
， ， ，
其中 ，于是 ．
（文）（1）联立方程ax＋1＝y与 ，消去y得： （*）
又直线与双曲线相交于A，B两点， ∴ ．
又依题 OA⊥OB，令A，B两点坐标分别为（ ， ），（ ， ），则 ．
且
，而由方程（*）知： ， 代入上式得 ．满足条件．
（2）假设这样的点A，B存在，则l：y＝ax＋1斜率a＝-2．又AB中点 ， 在 上，则 ，
又 ，
代入上式知 这与 矛盾．
故这样的实数a不存在．
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