高考的值域高中数学值域的解题方法

赛车巅峰2022-07-08 09:22:222786

高中函数值域的求法，最近几年高考数学中求值域解决方法？，高中高中数学第一轮复习函数的值域求法专题课件，怎样求函数值域？

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高一函数怎么求值域
高中数学值域的解题方法
高中数学函数新一轮复习
函数求值域八种方法

高一函数怎么求值域

函数值域求法十一种

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数的值域。

解：∵

∴

显然函数的值域是：

例2. 求函数的值域。

解：∵

故函数的值域是：

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数的值域。

解：将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，

故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例4. 求函数的值域。

解：原函数化为关于x的一元二次方程

（1）当时，

解得：

（2）当y=1时，，而

故函数的值域为

例5. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：（1）

∵

∴

解得：

但此时的函数的定义域由，得

由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵

代入方程（1）

解得：

即当时，

原函数的值域为：

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域。

例6. 求函数值域。

解：由原函数式可得：

则其反函数为：，其定义域为：

故所求函数的值域为：

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例7. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：

∵

∴

解得：

故所求函数的值域为

例8. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：

即

∵

∴

即

解得：

故函数的值域为

6. 函数单调性法

例9. 求函数的值域。

解：令

则在[2，10]上都是增函数

所以在[2，10]上是增函数

当x=2时，

当x=10时，

故所求函数的值域为：

例10. 求函数的值域。

解：原函数可化为：

令，显然在上为无上界的增函数

所以，在上也为无上界的增函数

所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值

显然，故原函数的值域为

7. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数的值域。

解：令，

则

∵

又，由二次函数的性质可知

当时，

故函数的值域为

例12. 求函数的值域。

解：因

即

故可令

∴

∵

故所求函数的值域为

例13. 求函数的值域。

解：原函数可变形为：

可令，则有

当时，

而此时有意义。

故所求函数的值域为

例14. 求函数，的值域。

解：

令，则

由

且

可得：

∴当时，，当时，

故所求函数的值域为。

例15. 求函数的值域。

解：由，可得

故可令

∵

当时，

故所求函数的值域为：

8. 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例16. 求函数的值域。

解：原函数可化简得：

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

故所求函数的值域为：

例17. 求函数的值域。

解：原函数可变形为：

上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，

故所求函数的值域为

例18. 求函数的值域。

解：将函数变形为：

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。

即：

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有

即：

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

综上所述，可知函数的值域为：

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。

9. 不等式法

利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例19. 求函数的值域。

解：原函数变形为：

当且仅当

即当时，等号成立

故原函数的值域为：

例20. 求函数的值域。

解：

当且仅当，即当时，等号成立。

由可得：

故原函数的值域为：

10. 一一映射法

原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例21. 求函数的值域。

解：∵定义域为

由得

故或

解得

故函数的值域为

11. 多种方法综合运用

例22. 求函数的值域。

解：令，则

（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：

注：先换元，后用不等式法

例23. 求函数的值域。

解：

令，则

∴当时，

当时，

此时都存在，故函数的值域为

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

高中数学值域的解题方法

高考中求值域的题目一般都是填空前5题、填空最后两题与大题目后两题中出现，

简单的求值域你就根据数形结合就能出来，难的值域问题基本在压轴题中出现，

填空后两题求值域几率较大，

我个人比较推荐求导，在能求导的范围里求导做基本是万能的，不过计算较繁琐，容易算错

大题目后两题中值域问题基本都是附带的，不会把求值域作为主要问题，

大题目后两题考求导几率不怎么大，因为会涉及到复合函数求导，文科是不学的

大题目值域问题一般根据数形结合解决的，考虑的因素较多，容易遗漏

个人观点，花这么多时间做填空大题目后两题是不怎么明智的，与其花这么多时间去做还不如确保前面简单的都做对、当然数学极为优秀的可以忽略我的个人观点

高中数学函数新一轮复习

一、函数的概念和表示函数的概念是高中数学中十分重要的概念之一，加深对函数的理解，对学好函数后续知识十分有帮助。对于函数的表示方法，也要掌握好，因为学习函数知识经常用到函数的表示方法。对于分段函数解析式的求法是难点，常用解法是先求出定义域在不同子区间上的解析表达式，然后进行合并。例1 已知，求f(x)。解：因为，所以，即点评：通过观察、分析，将右端“ ”变为“ ”的表达式，这种解法对变形能力有一定的要求。解题中易忽视的定义域应为中“ ”的值域。二、函数的单调性函数的单调性是函数的重要性质之一，它对了解函数的其他各种信息十分有用。同时，利用函数的单调性解题也是一种重要的方法。例2 已知函数（a为正数），且函数f(x)与g(x)的图象交y轴于同一点。（1）求a的值。（2）求函数的单调递增区间。解：（1）由题意知，，则，所以a＝1。（2）当时，，它在区间上单调递增；当时，，它在区间上单调递增。∴函数的单调递增区间为。点评：如果一个函数的解析式含有绝对值符号，则这个函数可化为分段函数。其常用解法是把各分段上的函数看做独立函数，分别求出它们的单调区间，然后再整合到一起，但要注意分段函数的单调区间一定要在其定义域内。三、二次函数的图象和性质二次函数是高中数学中最常见、最重要的函数之一，对二次函数图象上下左右平移，二次函数的定义域、值域、单调性和最大（小）值问题，要熟练掌握。例3 已知函数（1）当时，求函数f(x)的最值。（2）求实数a的取值范围，使在区间〔－5，5〕上是单调函数。解：（1），因为，所以当x＝1时， x＝－5时，（2），函数f(x)的对称轴为，要使f(x)在区间〔－5，5〕上是单调函数，所以，故a的取值范围为点评：借助二次函数图象的直观性来判断函数的最值时，需要确定二次函数的开口方向及对称轴是否落在区间内。四、函数知识在解应用题中的作用解函数应用题一般分为如下四个步骤：①审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③求解：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将得出的结论，还原为实际问题的意义，即作答。一、给出函数解析式求其定义域，一般是先列出限制条件的不等式（组），再进行求解。例1. 求下列函数的定义域：（1）；（2）。解：（1）要使函数有意义，x需满足，解得。此函数的定义域为。（2）要使函数有意义，x需满足，即有，解得，或。此函数的定义域是。二. 给出函数的定义域，求函数的定义域，其解法步骤是：若已知函数的定义域为，则其复合函数的定义域应由不等式解得。例2. 设函数的定义域为，给出下列函数：，，其定义域仍是A的有（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个解：由，得。由。由，得。由，得。故选B。例3. 已知函数的定义域为（0，1），则函数的定义域是________。解：函数的定义域为（0，1），即。。函数的定义域为（2，4）。三. 给出的定义域，求的定义域，其解法步骤是：若已知的定义域为，则的定义域是在时的取值范围。例4. 已知函数的定义域为（0，1），则函数的定义域是________。解：函数的定义域为（0，1），即在。令，于是中，。函数的定义域为（4，6）。例5. 函数的定义域为，则函数的定义域是（）A. B. C. D. 解：函数的定义域为，即。，即函数的定义域是。由，得。函数的定义域为，应选A。说明：本题还多了一个层次，即由函数的定义域求出原函数的定义域，然后求出函数的定义域。求函数值域是高考的热点，同时也是大家学习中的一个难点，在求函数值域时本人总结以下八种方法，供大家参考。方法一：观察法例1. 求函数的值域。解析：由。故此函数值域为。评注：此方法适用于解答选择题和填空题。方法二：不等式法例2. 求函数的值域。解析：，此函数值域为。评注：此方法在解答综合题时可屡建奇功！方法三：反函数法例3. 求函数的值域。解析：由得。由，得，解得。此函数值域为。评注：此方法适用范围比较狭窄，最适用于x为一次的情形。方法四：分离常数法例4. 求函数的值域。解析：：。从而易知此函数值域为。评注：此题先分离常数，再利用不等式法求解。注意形如的值域为。方法五：判别式法例5. 求函数的值域。解析：原式整理可得。当即时，原式成立。当即时，，解得。综上可得原函数值域为。评注：此方法适用于x为二次的情形，但应注意时的情况。方法六：图象法例6. 求函数的值域。解析：作出此函数的图象，如下图所示。可知此函数值域为。评注：此方法最适用于选择题和填空题，画出函数的草图，问题会变得直观明了。方法七：中间变量法例7. 求函数的值域。解析：由上式易得。由。故此函数值域为。评注：此方法适用范围极其狭窄，需要灵活掌握。方法八：配方法例8. 求函数的值域。解析：因为，故此函数值域为。评注：此方法需要灵活掌握，常常可以达到意想不到的效果。函数是高中数学中的重要内容，反函数又是函数的重要组成部分，也是同学们学习函数的难点之一。反函数在历年高考中也占有一定的比例。为了帮助同学们更好地掌握反函数相关的内容，对反函数的性质作如下归纳。性质1 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时，如能充分利用这条性质，将对解题有很大帮助。例1. 函数的反函数是（）。 A. B. C. D. 解析：这是一个分段函数，对分段函数求反函数要注意分段求解。由函数解析式可知当时，；时。由性质1，可知原函数的反函数在时，，则根式前面要有负号，故可排除A、B两项，再比较C、D，易得答案为C。例2. 若函数为函数的反函数，则的值域为__________。解析：常规方法是先求出的反函数，再求得的值域为。如利用性质1，的值域即的定义域，可得的值域为。性质2 若是函数的反函数，则有。从整个函数图象来考虑，是指与其反函数的图象关于直线对称；从图象上的点来说，是指若原函数过点，则其反函数必过点。反函数中的这条性质，别看貌不惊人，在解题中却有着广泛的应用。例3. 函数的反函数的图象与轴交于点P（0，2），如下图所示，则方程在[1，4]上的根是（）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1解析：利用互为反函数的图象关于直线对称，的图象与轴交于点P（0，2），可得原函数的图象与轴交于点（2，0），即，所以的根为，应选C。例4. 设函数的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数， =0，则 =_________。解析：由 =0，可知函数的图象过点（4，0），而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（，4）。由题意知点（，4）也在函数的图象上，即有，根据性质2，可得。性质3 单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。在定义域上的单调函数一定存在反函数，但在定义域上非单调函数未必没有反函数，或者说有反函数的原函数不一定是单调函数。如函数有反函数，但其在定义域上不是单调函数。例5 函数 = 在区间上存在反函数的充要条件是（）A. B. C. D. 解析：因为二次函数不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间或上是单调函数，而已知函数在区间上存在反函数，所以或者，即或，应选C。例6. 已知是定义在R上的单调递增函数，且有，试证明。证明：（反证法）假设存在，使得。∵ 是定义在R上的单调递增函数，∴由性质3知，也是R上的单调递增函数。若，则，即，矛盾。同理，当时，也可推出矛盾，故假设不成立，则。性质4 若是的反函数，则的反函数为，的反函数为。证明：假设的反函数为，若，则，即，得。也就是说原函数向左平移a个单位，则反函数向下平移a个单位，其他情况可同理证明。例7. 设，函数的图象与的图象关于直线对称，求的值。解析：∵函数的图象与的图象关于直线对称。∴ 与互为反函数。根据性质4，的反函数为。∴ ，得。例8. 设定义域为R的函数、都有反函数，并且函数和的图象关于直线对称，若，求的值。解析：由已知条件可知与互为反函数，根据性质4，的反函数为，可得。